Matematika A1a 2008/3. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Koordináta reprezentációk
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).
Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:
A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.
Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a
determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:
Egyenes
Legyen r0 az e egyenes egy pontjának helyvektora, v az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely r pontja előáll (alkalmas t valós paraméterrel)
alakban, hiszen az r - r0 vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a v irányvektor skalárszorosa. A t jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen v, akkor t azt jelenti, hogy az r0-végpontából az r végpontjába mennyi idő alatt jutunk el.
A fenti egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ha felÍrjuk koordinátareprezentációban, akkor a
- vagyis a
egyenletrendszert kapjuk, melyet az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezünk. Persze itt [r0]=(x0,y0, z0), [r]=(x,y, z) és [v]=(v1,v2, v3).
Kiküszöbölhetjük t-t, ha minden egyenletetből kivonjuk az adott pont megfelelő komponensét és ezután elosztunk az irányvektor megfelelő komponensével, feltéve, hogy ezek nem nullák:
Ezt nevezzük az egyenes paramétermentes egyenletrendszerének. Ha valamelyik nulla, akkor a következő típusokkal van dolgunk:
illetve
1. Feladat. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, mely merőleges mind az e, mind az f egyenesre és áthalad a P0 = (1,2,0) ponton.
- és
Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (3,-1,0) és vf = (2,0,-1). Ezekre merőleges vektort vektoriális szorzattal készítünk:
Azaz:
Sík
Legyen r0 az s sík egy pontjának helyvektora, n a normálvektora, azaz egy olyan nemnulla vektor, mely merőleges a síkra (azaz a sík minden pontjára merőleges). Ekkor a sík bármely r pontjára igaz lesz:
hiszen az r - r0 vektor merőleges a sík mormálvektorára, így skaláris szorzatuk 0.
Ha felírjuk koordinátákkal, ahol legyen n = (A,B,C), akkor az
egyenlehez jutunk, melyet az s sík egyenletének nevezünk.
2. Feladat. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, mely áthalad a P = (3,0,1) ponton és párhuzamos mind az e, mind az f egyenessel:
- és
Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (-2,1,-2) és vf = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk:
ami azonban nem alkalmas normálvektornak. Világos, hogy ez a jelenség amiatt lépett föl, mert a két egyenes párhuzamos egymással. Készítsünk tehát a síkjukban lévő nempárhuzamos vektorokat!
Az e-n egy pont az A = (1,2,0), az f-en: B = (-2,0,0), melyek a t = 0 értékadás által lettek kiválasztva. Legyen u az A-ból B-be menő vektor, mely a (-3,-2,0). Ekkor jó lesz normálvektornak a
A sík így:
3. Feladat. Írjuk fel az alábbi egyenletekkel megadott síkok metszésvonalának egyenletét!
Megoldás. A metszésvonal pontjai kielégítik mindkét egyenletet, így az összegüket is:
- illetve
Most gyakorlatilag azt csináltuk, hogy felíruk az n1 + n2 normálvektorú, a metszésvonalon áthaladó sík egyenletét. Ha keresünk ezen egy olyan pontot, mely az s1-en is rajta van, akkor találtunk egy közös pontoto. Kettő ilyen kéne. Válasszuk ki például a z = t síkon egy s-beli pontot, ehhez ugyanis ekkor
tartozik. Ehhez pedig az s1 miatt:
De t helyett bármi állhat, így megkaptuk a metszésvonal összes pontját:
ahol a paraméter a z = t.
4. Feladat. Tükrözzük a P = (4,-3,5) pontot az s: x - y + z -9 = 0 egyenletű síkra!
Megoldás.