Matematika A1a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2020. szeptember 15., 09:45-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Koordináta reprezentációk

Lineáris kombinációnak nevezzük a

\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n

alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.

Tétel.

  1. Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2
  2. Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3

Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).

Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:

[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3
\end{bmatrix}

A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.

[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[

\begin{matrix}

a_1+b_1\\

a_2+b_2\\

a_3+b_3

\end{matrix}

\right],\quad\quad[\lambda.\mathbf{a}]=\left[

\begin{matrix}

\lambda\cdot a_1\\

\lambda\cdot a_2\\

\lambda\cdot a_3

\end{matrix}

\right],
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\quad\quad[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]=\left[

\begin{matrix}

\;\;a_2b_3-b_2a_3\\

 -a_1b_3+b_1a_3\\

\;\; a_1b_2-b_1a_2

\end{matrix}

\right]

Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a

\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

a_1& a_2 & a_3\\

b_1&b_1&b_3\end{matrix}\right|=\mathbf{a}\times\mathbf{b}

"szimbolikus" determinánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:

\begin{matrix}
 & \begin{bmatrix}b_1 \\b_2\\b_3\end{bmatrix} \\ & \\
\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab}
\end{matrix}

Egyenes

Legyen r0 az e egyenes egy pontjának helyvektora, v az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely r pontja előáll (alkalmas t valós paraméterrel)

\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}

alakban, hiszen az r - r0 vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a v irányvektor skalárszorosa. A t jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen v, akkor t azt jelenti, hogy az r0-végpontából az r végpontjába mennyi idő alatt jutunk el.

A fenti egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ha felírjuk koordinátareprezentációban, akkor a

\begin{pmatrix}
x \\ y\\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x_0 \\ y_0\\ z_0
\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}
v_1 \\ v_2\\ v_3
\end{pmatrix} vagyis a \left\{\begin{matrix}
x =x_0+ tv_1\\ y=y_0+ tv_2\\ z=z_0 + tv_3
\end{matrix}\right.

egyenletrendszert kapjuk, melyet az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezünk. Persze itt [r0]=(x0,y0, z0), [r]=(x,y, z) és [v]=(v1,v2, v3). <-- Kiküszöbölhetjük t-t, ha minden egyenletetből kivonjuk az adott pont megfelelő komponensét és ezután elosztunk az irányvektor megfelelő komponensével, feltéve, hogy ezek nem nullák:

\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}\quad[=t], \quad\quad v_1,v_2,v_3\ne 0

Ezt nevezzük az egyenes paramétermentes egyenletrendszerének. Ha valamelyik nulla, akkor a következő típusokkal van dolgunk:

\left\{\begin{matrix}\cfrac{x-x_0}{v_1}=\cfrac{y-y_0}{v_2}\\ z=z_0\end{matrix} \right.\quad\quad (v_1,v_2\ne 0, v_3=0)

illetve

\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0\end{matrix} \right. \quad\quad (v_1\ne 0, v_2=v_3=0)

!--> 1. Feladat. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, mely merőleges mind az e, mind az f egyenesre és áthalad a P0 = (1,2,0) ponton.

e:\left\{\begin{matrix}\cfrac{x-2}{3}=\cfrac{1-y}{2}\\ z=8\end{matrix}\right. és f:\left\{\begin{matrix}
x =-3+ 2t\\ y=4\\ z=2 - t
\end{matrix}\right.

Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (3,-1,0) és vf = (2,0,-1). Ezekre merőleges vektort vektoriális szorzattal készítünk:

\mathbf{v}_g=\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

3 & -1 & 0\\

2 & 0 & -1\end{matrix}\right|=\mathbf{i} +3 \mathbf{j}+2\mathbf{k}

Azaz: g:\left\{\begin{matrix}
x =1+ t\\ y=2+ 3t\\ z=2t
\end{matrix}\right.

Két egyenes kölcsönös helyzetével kapcsolatban a következő lehetőségek vannak:

e | | f (ennek kritériuma \mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\mathbf{0}) ekkor
vagy egybeesnek (amikoris van közös pontjuk),
vagy különbözőek (ha nincs)
e\not{|\!|}f (ennek kritériuma \mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f\ne \mathbf{0}) ekkor:
vagy metszőek (amikoris van közös pontjuk),
vagy kitérőek (ha nincs)


2. Feladat. Határozzuk meg az

e:\left\{\begin{matrix}
x =3t+ 2\\ y=-t\\ z=1-2t
\end{matrix}\right. és f:\left\{\begin{matrix}
x =2t- 3\\ y=-1\\ z=3t+9
\end{matrix}\right.

egyenletrendszerekkel megadott egyenesek kölcsönös helyzetét!

Megoldás. Két egyenes pontosan akkor párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak. Ezek: (3,-1,-2) és (2,0, 3), azaz biztosan nem párhuzamosak, mert a komponens, amelyik 0, nem áll elő nemnullák szorzataként. Közös pontot az egyenletrendszer megoldásával találhatunk (ha egyáltalán van).

\left\{\begin{matrix}
3t+ 2=2u- 3\\ -t=-1\\ 1-2t=3u+9
\end{matrix}\right.

három egyenlet, két ismeretlen, ezért a feladat túlhatározott, azaz általában nincs megoldása. Most tényleg nincs, mert ha t=1, akkor 3u=-10 és 2u=8, ami lehetetlen.

Sík

Legyen r0 az s sík egy pontjának helyvektora, n a normálvektora, azaz egy olyan nemnulla vektor, mely merőleges a síkra (azaz a sík minden pontjára merőleges). Ekkor a sík bármely r pontjára igaz lesz:

(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\cdot \mathbf{n}=0

hiszen az r - r0 vektor merőleges a sík mormálvektorára, így skaláris szorzatuk 0.

Ha felírjuk koordinátákkal, ahol legyen n = (A,B,C), akkor az

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\,

egyenlehez jutunk, melyet az s sík egyenletének nevezünk.

3. Feladat. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, mely áthalad a P = (3,0,1) ponton és párhuzamos az e és f egyenesek által kifeszített síkkal, ha van ilyen.

e:\left\{\begin{matrix}
x =1-2t\\ y=2+t\\ z=-2t
\end{matrix}\right. és f:\cfrac{x+2}{2}=-y=\cfrac{z}{2}

Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (-2,1,-2) és vf = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk:

\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

-2 & 1 & -2\\

2 & -1 & 2\end{matrix}\right|=0.\mathbf{i} + 0.\mathbf{j}+0.\mathbf{k}=\mathbf{0}

ami azonban nem alkalmas normálvektornak. Világos, hogy ez a jelenség amiatt lépett föl, mert a két egyenes párhuzamos egymással. Készítsünk tehát a síkjukban lévő nempárhuzamos vektorokat!

Az e-n egy pont az A = (1,2,0), az f-en: B = (-2,0,0), melyek a t = 0 értékadás által lettek kiválasztva. Legyen u az A-ból B-be menő vektor, mely a (-3,-2,0). Ekkor jó lesz normálvektornak a

\mathbf{n}=\mathbf{v}_e\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

-2 & 1 & -2\\

-3 & -2 & 0\end{matrix}\right|=-4.\mathbf{i} + 6.\mathbf{j}+7.\mathbf{k}

A sík így:

s:\quad -4(x-3)+6y+7(y-1)=0\,

4. Feladat. Írjuk fel az alábbi egyenletekkel megadott síkok metszésvonalának egyenletét!

s_1:\quad x-y-4z-5=0\,
s_2:\quad 2x+y-2z-4=0\,

Megoldás. A metszésvonal pontjai kielégítik mindkét egyenletet, így az összegüket is:

s:\quad 3x-6z-9=0\, illetve  x-2z-3=0\,

Most gyakorlatilag azt csináltuk, hogy felíruk az n1 + n2 normálvektorú, a metszésvonalon áthaladó sík egyenletét. Ha keresünk ezen egy olyan pontot, mely az s1-en is rajta van, akkor találtunk egy közös pontoto. Kettő ilyen kéne. Válasszuk ki például a z = t síkon egy s-beli pontot, ehhez ugyanis ekkor

x=2t+3\,

tartozik. Ehhez pedig az s1 miatt:

y=2t+3-4t-5=-2t-2\,

De t helyett bármi állhat, így megkaptuk a metszésvonal összes pontját:

e:\left\{\begin{matrix}
x =3+2t\\ y=-2-2t\\ z=t
\end{matrix}\right.

ahol a paraméter a z = t.

5. Feladat. Tükrözzük a P = (4,-3,5) pontot az s: x - y + z - 6 = 0 egyenletű síkra!

Megoldás. A P-ből s-re bocsátott merőleges D döféspontját kell meghatározni, majd kiszámítani a p + 2.(d-p) vektort. Az s-re merőleges e egyenes irányvektora nem más, mint a sík normálvektora:

n = (1,-1,1)

így a P adott ponttal:

e:\left\{\begin{matrix}
x =4+t\\ y=-3-t\\ z=5+t
\end{matrix}\right.

A döféspont ennek a sík egyenletébe helyettesítésével adódik:

4+t-(-3-t)+5+t-6=0\,

innen:

6t=-6 és t=-1

Ekkor a döféspont koordinátáit a t=-1 helyettesítéssel nyerjük az egyenletrendszerből: D = (3,-2,4)

P' = p + 2.(d-p) = (4,-3,5) + 2.(-1,1,-1)=(2,-1,3)


6. Feladat. Határozzuk meg annak az e egyenesnek az egyenletét, mely illeszkedik a P = (-1,2,3) pontra, merőleges az a = (6,-2,-3) vektorra és metszi az

f:\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y+2}{2}=\cfrac{3-z}{4}

egyenest.

Megoldás. Tudjuk, hogy vektor akkor és csak akkor merőleges egy síkra, ha a sík minden egyenesére merőleges. Ha tehát felírjuk az a normálvektorú, P-n áthaladó s síkot, akkor abban benne lesz e. Hogy merre lesz, azt f árulja el, mert ahol döfi a síkot f, ott lesz e és f metszéspontja. Ez azért van, mert e rajta van s-en, így metszéspontja f-fel szintén s-ben van. Ám, pont ebben a pontban döfi f az s-t.

f paraméteres egyenletrendszere:

f:\left\{\begin{matrix}
x =2t+1\\ y=2t-2\\ z=-4t+3
\end{matrix}\right.

s egyenlete:

6(x+1)-2(y-2)-3(z-3)=0\,

A döféspont:

6(2t+2)-2(2t-4)-3(-4t)=0\,
12t+12-4t+8+12t=0\,
t=-1\,

Azaz D = (-1,-3,7).

e irányvektora a PD vektor: (0,-5,4)

e paraméteres egyenletrendszere:

e:\left\{\begin{matrix}
x =-1\\ y=-5t-2\\ z=4t+3
\end{matrix}\right.

Házi feladatok

  1. Határozza meg annak a síknak az egyenletét, mely tartalmazza az e: x=1-2t, y=2+t, z=-1-t egyenletrendszerű egyenest és a P = (0,1,-2) pontot!
  2. Határozza meg a 3x+2y-z=3 és x-y+3z=1 egyenletű síkok metszésvonalával párhuzamos, a P = (1,2,3) ponton áthaladó egynenes egyenletét.

További feladatok. A megoldásoknál ajánlott a (pdf) segédlet utolsó oldalát áttanulmányozni.

  1. Határozzuk meg a 2. és 3. feladatban említett egynespárok távolságát!
  2. Határozzuk meg a 2. feladatban említett egynespárok szögét!
  3. Határozzuk meg a 4. feladatban említett síkpárok szögét!
  4. Határozzuk meg az 5. feladatban említett P és s távolságát!
  5. Határozzuk meg a 4. feladatban említett síkpárok esetén az "s1 + s2" és a z irányba 5-tel eltolt másának távolságát!
Személyes eszközök