Matematika A1a 2008/3. gyakorlat
Koordináta reprezentációk
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).
Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:
A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.
Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a
determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást: