Matematika A1a 2008/3. gyakorlat

_{<Matematika A1a 2008}

Koordináta reprezentációk

Lineáris kombinációnak nevezzük a

$\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n$

alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.

Tétel.

1. Ha b₁ és b₂ két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:

   $\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2$

2. Ha b₁, b₂ és b₃ három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:

   $\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3$

Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).

Egy v térvektornak B = (b₁, b₂, b₃) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:

$[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3 \end{bmatrix}$

A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.

$[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[ \begin{matrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{matrix} \right],\quad\quad[\lambda.\mathbf{a}]=\left[ \begin{matrix} \lambda\cdot a_1\\ \lambda\cdot a_2\\ \lambda\cdot a_3 \end{matrix} \right],$

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\quad\quad[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]=\left[ \begin{matrix} \;\;a_2b_3-b_2a_3\\ -a_1b_3+b_1a_3\\ \;\; a_1b_2-b_1a_2 \end{matrix} \right]$

Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a

$\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\ a_1& a_2 & a_3\\ b_1&b_1&b_3\end{matrix}\right|=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$

determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:

$\begin{matrix} & \begin{bmatrix}b_1 \\b_2\\b_3\end{bmatrix} \\ & \\ \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab} \end{matrix}$

Egyenes és sík

Legyen r₀ az e egyenes egy pontjának helyvektora, v az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely r pontja előáll (alkalmas t valós paraméterrel)

$\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}$

alakban, hiszen az r - r₀ vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a v irányvektor skalárszorosa. A t jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen v, akkor t azt jelenti, hogy az r₀-végpontából az r végpontjába mennyi idő alatt jutunk el.

A fenti egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ha felÍrjuk koordinátareprezetnációban, akkor a

$\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix}$ vagyis a $\left\{\begin{matrix} x =x_0+ tv_1\\ y=y_0+ tv_2\\ z=z_0 + tv_3 \end{matrix}\right.$

egyenletrendszert kapjuk, melyet az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezünk.