Matematika A1a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(Bevezetés)
5. sor: 5. sor:
  
 
Legyen '''Z'''<sub>13</sub> az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő:
 
Legyen '''Z'''<sub>13</sub> az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő:
:<math>\mathbf{Z}_13=\{0,1,3,...,11,12\}\,</math>
+
:<math>\mathbf{Z}_{13}=\{0,1,3,...,11,12\}\,</math>
 
Például '''Z'''<sub>13</sub>-ban  
 
Például '''Z'''<sub>13</sub>-ban  
 
:<math>3\cdot 5=2\,</math>
 
:<math>3\cdot 5=2\,</math>
abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk.
+
abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. Azért a félreértések elkerülése érdekében a fenti egyenlőséget így jelöljük:
 +
:<math>3\cdot 5\equiv 2\quad(\mathrm{mod}\,13)\,</math>
 +
Vagy egy másik érdekes példa: milyen ''x'' '''Z'''<sub>13</sub>-beli esetén lesz
 +
:<math>2\cdot x\equiv 1\quad(\mathrm{mod}\,13)\,</math>
 +
Világos, hogy ez nem az 1/2, mert az nem egész. Csak 13 lehetőséget kell kipróbálnunk, hogy megtudjuk, van-e és ha igen, mi lesz:
 +
:<math>x=7\,.</math>
  
'''1. Feladat.'''   
+
'''1. Feladat.'''  Oldjuk meg '''Z'''<sub>13</sub>-ban a következő egyenletet:
 +
:<math>x^2+1=0\,</math>
 +
 
 +
''Megoldás.'' Ez egy másodfokú egyenlet (és a számkör egy kommutatív test, ahol használható a megoldóképlet), így:
 +
:<math>x_{1,2}=\frac{0\pm \sqrt{0-4\cdot 1}}{2}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2}\equiv\frac{\pm\sqrt{9}}{2}\equiv\pm 3\cdot 7\equiv\left\{\begin{matrix}8\\ \\ 5 \end{matrix}\right.</math>
 +
Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldások. (Megjegyezzük, hogy a fenti gondolatmenet ebben a formájában csak egy intuitív gondolatkísérlet, ám utánagondolva módszertanilag szigorúvá tehető.)
 +
==Komplex számok==
  
  
 
[[Kategória:Matematika A1]]
 
[[Kategória:Matematika A1]]

A lap 2008. szeptember 29., 08:43-kori változata

<Matematika A1a 2008

Bevezetés

Mielőtt a komplex számokra rátérnénk nézzünk példát olyan számkörben való számolásra, mely bár még kommutatív, de eltérést mutat a megszokott számkörökben történő számolástól.

Legyen Z13 az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő:

\mathbf{Z}_{13}=\{0,1,3,...,11,12\}\,

Például Z13-ban

3\cdot 5=2\,

abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. Azért a félreértések elkerülése érdekében a fenti egyenlőséget így jelöljük:

3\cdot 5\equiv 2\quad(\mathrm{mod}\,13)\,

Vagy egy másik érdekes példa: milyen x Z13-beli esetén lesz

2\cdot x\equiv 1\quad(\mathrm{mod}\,13)\,

Világos, hogy ez nem az 1/2, mert az nem egész. Csak 13 lehetőséget kell kipróbálnunk, hogy megtudjuk, van-e és ha igen, mi lesz:

x=7\,.

1. Feladat. Oldjuk meg Z13-ban a következő egyenletet:

x^2+1=0\,

Megoldás. Ez egy másodfokú egyenlet (és a számkör egy kommutatív test, ahol használható a megoldóképlet), így:

x_{1,2}=\frac{0\pm \sqrt{0-4\cdot 1}}{2}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2}\equiv\frac{\pm\sqrt{9}}{2}\equiv\pm 3\cdot 7\equiv\left\{\begin{matrix}8\\ \\ 5 \end{matrix}\right.

Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldások. (Megjegyezzük, hogy a fenti gondolatmenet ebben a formájában csak egy intuitív gondolatkísérlet, ám utánagondolva módszertanilag szigorúvá tehető.)

Komplex számok

Személyes eszközök