Matematika A1a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Bevezetés) |
||
5. sor: | 5. sor: | ||
Legyen '''Z'''<sub>13</sub> az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő: | Legyen '''Z'''<sub>13</sub> az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő: | ||
− | :<math>\mathbf{Z} | + | :<math>\mathbf{Z}_{13}=\{0,1,3,...,11,12\}\,</math> |
Például '''Z'''<sub>13</sub>-ban | Például '''Z'''<sub>13</sub>-ban | ||
:<math>3\cdot 5=2\,</math> | :<math>3\cdot 5=2\,</math> | ||
− | abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. | + | abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. Azért a félreértések elkerülése érdekében a fenti egyenlőséget így jelöljük: |
+ | :<math>3\cdot 5\equiv 2\quad(\mathrm{mod}\,13)\,</math> | ||
+ | Vagy egy másik érdekes példa: milyen ''x'' '''Z'''<sub>13</sub>-beli esetén lesz | ||
+ | :<math>2\cdot x\equiv 1\quad(\mathrm{mod}\,13)\,</math> | ||
+ | Világos, hogy ez nem az 1/2, mert az nem egész. Csak 13 lehetőséget kell kipróbálnunk, hogy megtudjuk, van-e és ha igen, mi lesz: | ||
+ | :<math>x=7\,.</math> | ||
− | '''1. Feladat.''' | + | '''1. Feladat.''' Oldjuk meg '''Z'''<sub>13</sub>-ban a következő egyenletet: |
+ | :<math>x^2+1=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Ez egy másodfokú egyenlet (és a számkör egy kommutatív test, ahol használható a megoldóképlet), így: | ||
+ | :<math>x_{1,2}=\frac{0\pm \sqrt{0-4\cdot 1}}{2}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2}\equiv\frac{\pm\sqrt{9}}{2}\equiv\pm 3\cdot 7\equiv\left\{\begin{matrix}8\\ \\ 5 \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldások. (Megjegyezzük, hogy a fenti gondolatmenet ebben a formájában csak egy intuitív gondolatkísérlet, ám utánagondolva módszertanilag szigorúvá tehető.) | ||
+ | ==Komplex számok== | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2008. szeptember 29., 08:43-kori változata
Bevezetés
Mielőtt a komplex számokra rátérnénk nézzünk példát olyan számkörben való számolásra, mely bár még kommutatív, de eltérést mutat a megszokott számkörökben történő számolástól.
Legyen Z13 az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő:
Például Z13-ban
abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. Azért a félreértések elkerülése érdekében a fenti egyenlőséget így jelöljük:
Vagy egy másik érdekes példa: milyen x Z13-beli esetén lesz
Világos, hogy ez nem az 1/2, mert az nem egész. Csak 13 lehetőséget kell kipróbálnunk, hogy megtudjuk, van-e és ha igen, mi lesz:
1. Feladat. Oldjuk meg Z13-ban a következő egyenletet:
Megoldás. Ez egy másodfokú egyenlet (és a számkör egy kommutatív test, ahol használható a megoldóképlet), így:
Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldások. (Megjegyezzük, hogy a fenti gondolatmenet ebben a formájában csak egy intuitív gondolatkísérlet, ám utánagondolva módszertanilag szigorúvá tehető.)