Matematika A1a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2008. szeptember 29., 13:22-kori változata

_{<Matematika A1a 2008}

Bevezetés

Mielőtt a komplex számokra rátérnénk nézzünk példát olyan számkörben való számolásra, mely bár még kommutatív, de eltérést mutat a megszokott számkörökben történő számolástól.

Legyen Z₁₃ az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő:

$\mathbf{Z}_{13}=\{0,1,3,...,11,12\}\,$

Például Z₁₃-ban

$3\cdot 5=2\,$

abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. Azért a félreértések elkerülése érdekében a fenti egyenlőséget így jelöljük:

$3\cdot 5\equiv 2\quad(\mathrm{mod}\,13)\,$

Vagy egy másik érdekes példa: milyen x Z₁₃-beli esetén lesz

$2\cdot x\equiv 1\quad(\mathrm{mod}\,13)\,$

Világos, hogy ez nem az 1/2, mert az nem egész. Csak 13 lehetőséget kell kipróbálnunk, hogy megtudjuk, van-e és ha igen, mi lesz:

$x=7\,.$

1. Feladat. Oldjuk meg Z₁₃-ban a következő egyenletet:

$x^2+1=0\,$

Megoldás. Ez egy másodfokú egyenlet (és a számkör egy kommutatív test, ahol használható a megoldóképlet), így:

$x_{1,2}=\frac{0\pm \sqrt{0-4\cdot 1}}{2}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2}\equiv\frac{\pm\sqrt{9}}{2}\equiv\pm 3\cdot 7\equiv\left\{\begin{matrix}8\\ \\ 5 \end{matrix}\right.$

Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldások. (Megjegyezzük, hogy a fenti gondolatmenet ebben a formájában csak egy intuitív gondolatkísérlet, ám utánagondolva módszertanilag szigorú bizonyítássá tehető.)

Komplex számok

A komplex számok halmazát is maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthetós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a

$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,$

alakú kifejezésekkel, ahol az a-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani.

Példa. Mi az (x^3+8):(x+2) osztás maradéka?

Megoldás.

@@ 23. sor: / 23. sor: @@
 ==Komplex számok==
+A komplex számok halmazát is maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthetós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós,  egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
+:<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math>
+alakú kifejezésekkel, ahol az ''a''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani.
+'''Példa.''' Mi az
+(x^3+8):(x+2)
+osztás maradéka?
+''Megoldás.''
 [[Kategória:Matematika A1]]

Matematika A1a 2008/4. gyakorlat

A lap 2008. szeptember 29., 13:22-kori változata

Bevezetés

Komplex számok

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök