Matematika A1a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Konjugált) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számok) |
||
72. sor: | 72. sor: | ||
Például kifejezhető a konjugltal az reciprok. Ha ''z'' ≠ 0, akkor | Például kifejezhető a konjugltal az reciprok. Ha ''z'' ≠ 0, akkor | ||
:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}\,</math> | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}\,</math> | ||
− | itt <math> z\overline{z}</math> mindig nemnegatív! | + | itt <math> z\overline{z}</math> mindig nemnegatív, hiszen |
+ | :<math> z\overline{z}=a^2+b^2</math> | ||
+ | Ennek a kifejezésnek az alakja vezet el a komplex számok geometriai képéhez. | ||
+ | ==Geometriai interpretáció== | ||
+ | Minthogy | ||
+ | :<math>z\in \mathbf{C}\quad\leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math> | ||
+ | azaz a komplex számot egyértelműen meghatározza a valós és képzetes része, így a koordinátasík minden pontja kölcsnösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a komplex számok halmazával. | ||
+ | |||
+ | Ekkor a "hozzáadás" az eltolás. A konjugálás az "Re"-tengelyre tükrözés. Innen következik, hogy konjugálás invariáns az összeadásra (sőt a szorzásra is). Az komplex szám hossza az eltolás vektor hossza: | ||
+ | :<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}</math> | ||
+ | Ez egyben abszolútérték is, azaz |zw|=|z||w|. | ||
+ | A szorzás Ha z egy egységnyi abszolútértékű komplex szám, akkor nyilván: | ||
+ | :<math>z=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,</math> | ||
+ | amelyet még | ||
+ | :<math>e^{z}\,</math> | ||
+ | -vel is jelölünk. A valóssal való szorzás miatt egy ''r'' hosszúságú komplex szám: | ||
+ | :<math>z=r(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))\,</math> | ||
+ | ==Feladatok== | ||
+ | ===Alegbrai alakkal=== | ||
+ | '''2. Feladat.''' Oldjuk meg a | ||
+ | :<math>z^3+2z^2+5z=0\quad\quad (\mathbf{C}\ni z=?)</math> | ||
+ | egyenletet a komplex számok halmazán! | ||
+ | |||
+ | '''3. Feladat.''' Oldjuk meg a | ||
+ | :<math>z\overline{z}=z^3\quad\quad (\mathbf{C}\ni z=?)</math> | ||
+ | egyenletet a komplex számok halmazán! | ||
+ | |||
+ | '''4. Feladat.''' Oldjuk meg a | ||
+ | :<math>3x+2iy-ix+5y=7+5i\quad\quad (\mathbf{R}^2\ni (x,y)=?)</math> | ||
+ | egyenletet a valós számpárok halmazán (azaz x és y valós ismeretlenek)! | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2008. szeptember 30., 20:11-kori változata
Tartalomjegyzék |
Bevezetés
Mielőtt a komplex számokra rátérnénk nézzünk példát olyan számkörben való számolásra, mely bár még kommutatív, de eltérést mutat a megszokott számkörökben történő számolástól.
Legyen Z13 az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő:
Például Z13-ban
abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. Azért a félreértések elkerülése érdekében a fenti egyenlőséget így jelöljük:
Vagy egy másik érdekes példa: milyen x Z13-beli esetén lesz
Világos, hogy ez nem az 1/2, mert az nem egész. Csak 13 lehetőséget kell kipróbálnunk, hogy megtudjuk, van-e és ha igen, mi lesz:
1. Feladat. Oldjuk meg Z13-ban a következő egyenletet:
Megoldás. Ez egy másodfokú egyenlet (és a számkör egy kommutatív test, ahol használható a megoldóképlet), így:
Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldások. (Megjegyezzük, hogy a fenti gondolatmenet ebben a formájában csak egy intuitív gondolatkísérlet, ám utánagondolva módszertanilag szigorú bizonyítássá tehető.)
Komplex számok
A komplex számok halmazát is maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthetós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
alakú kifejezésekkel, ahol az a-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani.
Példa. Mi az (x^3+8):(x+2) osztás maradéka?
Megoldás.
A számkör és a műveletek
azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x2+1-gyel történő osztási maradékai. Minden ilyen maradék előáll
alakban. A számkörben az összeadás a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása. Ebben az esetben elvilag előfordulhat, hogy két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, és akkor kilépnénk a számkörből, de ez mégsincs így, mivel megoldható az
polinomegyenlet éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke.
Immaginárius egység, valós és képzetes rész
A fenti egy annyira jellegzetes tulajdonsága a komplex számkörnek, hogy a benne lévő x-re másként hivatkozunk.
-vel jelöljük és az imaginárius egységnek nevezzük. Úgy számolunk vele, mint paraméterrel, vagy határozatlannal (x-szel), csak teljesül rá:
- i2 = − 1
Ekkor
itt a-t a z valós részének nevezzük és Re(z)-vel jelöljük, b-t a z képzetes részének nevezzük és Im(z)-vel jelöljük. Világos, hogy Im(z) ∈ R, azaz "tiszta" valós.
A z = Re(z) + iIm(z) alakot a komplex szám kanonikus alakjának nevezzük.
1. Feladat. Adjuk meg az
számot kanonikus alakban:
Megoldás. Megjegyezzük, hogy a fenti osztás értelmes, mint ahogy nemnulla polinommal való maradékos osztás is az. Persze z/0 a komplexekben sem értelmezhető.
A nevezőben is van i, emiatt nem kanonikus alakú a szám. "i-telenítsük" a nevezőt! Ezt hasonló módon tesszük, mint a (négyzet)gyöktelenítésnél, hiszen i úgy tekinthető, mint a -1 (egyik) négyzetgyöke:
itt felhasználjuk azt a múlhatatlanul fontos azonosságot, hogy:
Konjugált
A fenti példa rámutat a konjugált hasznosságára, mely a következő:
- ha z = a + bi ∈ C, akkor
Például kifejezhető a konjugltal az reciprok. Ha z ≠ 0, akkor
itt mindig nemnegatív, hiszen
Ennek a kifejezésnek az alakja vezet el a komplex számok geometriai képéhez.
Geometriai interpretáció
Minthogy
azaz a komplex számot egyértelműen meghatározza a valós és képzetes része, így a koordinátasík minden pontja kölcsnösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a komplex számok halmazával.
Ekkor a "hozzáadás" az eltolás. A konjugálás az "Re"-tengelyre tükrözés. Innen következik, hogy konjugálás invariáns az összeadásra (sőt a szorzásra is). Az komplex szám hossza az eltolás vektor hossza:
Ez egyben abszolútérték is, azaz |zw|=|z||w|. A szorzás Ha z egy egységnyi abszolútértékű komplex szám, akkor nyilván:
amelyet még
-vel is jelölünk. A valóssal való szorzás miatt egy r hosszúságú komplex szám:
Feladatok
Alegbrai alakkal
2. Feladat. Oldjuk meg a
egyenletet a komplex számok halmazán!
3. Feladat. Oldjuk meg a
egyenletet a komplex számok halmazán!
4. Feladat. Oldjuk meg a
egyenletet a valós számpárok halmazán (azaz x és y valós ismeretlenek)!