Matematika A1a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Konjugált) |
||
71. sor: | 71. sor: | ||
Például kifejezhető a konjugltal az reciprok. Ha ''z'' ≠ 0, akkor | Például kifejezhető a konjugltal az reciprok. Ha ''z'' ≠ 0, akkor | ||
− | \frac{1}{z}= | + | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}\,</math> |
− | + | itt <math> z\overline{z}</math> mindig nemnegatív! | |
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2008. szeptember 30., 09:34-kori változata
Tartalomjegyzék |
Bevezetés
Mielőtt a komplex számokra rátérnénk nézzünk példát olyan számkörben való számolásra, mely bár még kommutatív, de eltérést mutat a megszokott számkörökben történő számolástól.
Legyen Z13 az egész számok 13-mal történő osztása maradékainak halmaza. Eszerint a fenti halmaz lényegében a következő:
Például Z13-ban
abban az értelemben, hogy 13-mal 3-mat maradékul adót 5-öt maradékul adóval szorozva 2-t maradékul adót kapunk. Azért a félreértések elkerülése érdekében a fenti egyenlőséget így jelöljük:
Vagy egy másik érdekes példa: milyen x Z13-beli esetén lesz
Világos, hogy ez nem az 1/2, mert az nem egész. Csak 13 lehetőséget kell kipróbálnunk, hogy megtudjuk, van-e és ha igen, mi lesz:
1. Feladat. Oldjuk meg Z13-ban a következő egyenletet:
Megoldás. Ez egy másodfokú egyenlet (és a számkör egy kommutatív test, ahol használható a megoldóképlet), így:
Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldások. (Megjegyezzük, hogy a fenti gondolatmenet ebben a formájában csak egy intuitív gondolatkísérlet, ám utánagondolva módszertanilag szigorú bizonyítássá tehető.)
Komplex számok
A komplex számok halmazát is maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthetós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
alakú kifejezésekkel, ahol az a-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani.
Példa. Mi az (x^3+8):(x+2) osztás maradéka?
Megoldás.
A számkör és a műveletek
azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x2+1-gyel történő osztási maradékai. Minden ilyen maradék előáll
alakban. A számkörben az összeadás a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása. Ebben az esetben elvilag előfordulhat, hogy két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, és akkor kilépnénk a számkörből, de ez mégsincs így, mivel megoldható az
polinomegyenlet éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke.
Immaginárius egység, valós és képzetes rész
A fenti egy annyira jellegzetes tulajdonsága a komplex számkörnek, hogy a benne lévő x-re másként hivatkozunk.
-vel jelöljük és az imaginárius egységnek nevezzük. Úgy számolunk vele, mint paraméterrel, vagy határozatlannal (x-szel), csak teljesül rá:
- i2 = − 1
Ekkor
itt a-t a z valós részének nevezzük és Re(z)-vel jelöljük, b-t a z képzetes részének nevezzük és Im(z)-vel jelöljük. Világos, hogy Im(z) ∈ R, azaz "tiszta" valós.
A z = Re(z) + iIm(z) alakot a komplex szám kanonikus alakjának nevezzük.
1. Feladat. Adjuk meg az
számot kanonikus alakban:
Megoldás. Megjegyezzük, hogy a fenti osztás értelmes, mint ahogy nemnulla polinommal való maradékos osztás is az. Persze z/0 a komplexekben sem értelmezhető.
A nevezőben is van i, emiatt nem kanonikus alakú a szám. "i-telenítsük" a nevezőt! Ezt hasonló módon tesszük, mint a (négyzet)gyöktelenítésnél, hiszen i úgy tekinthető, mint a -1 (egyik) négyzetgyöke:
itt felhasználjuk azt a múlhatatlanul fontos azonosságot, hogy:
Konjugált
A fenti példa rámutat a konjugált hasznosságára, mely a következő:
- ha z = a + bi ∈ C, akkor
Például kifejezhető a konjugltal az reciprok. Ha z ≠ 0, akkor
itt mindig nemnegatív!