Matematika A1a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
 
(egy szerkesztő 15 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
  
 +
==Konvergencia==
 
'''Definíció''' – ''Konvergens sorozat'' – Azt mondjuk, hogy az (''a''<sub>n</sub>) számsorozat konvergens, ha létezik olyan ''A'' &isin; '''R''' szám, hogy minden &epsilon; pozitív szám esetén megadható olyan ''N''<sub>&epsilon;</sub> természetes szám, hogy minden az ''N''-nél nagyobb vagy egyenlő ''n'' természetes számra <nowiki>|</nowiki>''a''<sub>n</sub> - ''A''<nowiki>|</nowiki> < &epsilon;. Illetve szimbolikusan:
 
'''Definíció''' – ''Konvergens sorozat'' – Azt mondjuk, hogy az (''a''<sub>n</sub>) számsorozat konvergens, ha létezik olyan ''A'' &isin; '''R''' szám, hogy minden &epsilon; pozitív szám esetén megadható olyan ''N''<sub>&epsilon;</sub> természetes szám, hogy minden az ''N''-nél nagyobb vagy egyenlő ''n'' természetes számra <nowiki>|</nowiki>''a''<sub>n</sub> - ''A''<nowiki>|</nowiki> < &epsilon;. Illetve szimbolikusan:
 
:<math>\exists A\in\mathbb{R}\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N_\varepsilon\in\mathbb{N}\quad\forall n\in\mathbb{N}\quad\quad n\geq N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad|a_n-A|<\varepsilon</math>  
 
:<math>\exists A\in\mathbb{R}\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N_\varepsilon\in\mathbb{N}\quad\forall n\in\mathbb{N}\quad\quad n\geq N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad|a_n-A|<\varepsilon</math>  
7. sor: 8. sor:
 
'''Példák.''' Az <math>\left(\frac{1}{n}\right)</math>, <math> \left(\frac{2}{3n+4}\right)</math>, <math>\left(\frac{3}{n^2}\right)</math> sorozatok konvergensek.  
 
'''Példák.''' Az <math>\left(\frac{1}{n}\right)</math>, <math> \left(\frac{2}{3n+4}\right)</math>, <math>\left(\frac{3}{n^2}\right)</math> sorozatok konvergensek.  
  
''Ugyanis,'' Előzetes ismereteink szerint a sorozatok infimuma a 0 és csökkenőek, így ''A''-ra alkalmas értéknek látszik a 0.
 
 
Legyen &epsilon; > 0. Mindegyikre keresünk olyan ''N''-t, amire teljesül, hogy ha ''n'' > ''N'', akkor |''a''<sub>n</sub>| < &epsilon;. Rendezve az egyenlőtlenségeket:
 
:<math>\begin{matrix}
 
\cfrac{1}{n}<\varepsilon \quad\quad & \cfrac{2}{3n+4}<\varepsilon \quad\quad & \cfrac{3}{n^2}<\varepsilon \\
 
& & \\
 
n>\cfrac{1}{\varepsilon} \quad\quad & \cfrac{3n+4}{2}>\cfrac{1}{\varepsilon} \quad\quad & \cfrac{n^2}{3}>\cfrac{1}{\varepsilon}\\
 
& & \\
 
N>\cfrac{1}{\varepsilon} \quad\quad & N>\cfrac{2}{3\varepsilon}>\cfrac{\frac{2}{\varepsilon}-4}{3} \quad\quad & N>\sqrt{\cfrac{3}{\varepsilon}}
 
\end{matrix}</math>
 
Ha tehát ''N'' a fenti tulajdonságú, akkor  |''a''<sub>n</sub>| < &epsilon; mindháromnál teljesül minden ''n'' > ''N''-re. Ez pedig azért van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám (Archimédeszi axióma).
 
  
 
'''Feladat.''' Konvergens-e az <math>a_n=\frac{5n+2}{2n+7}</math> általános tagú sorozat?  
 
'''Feladat.''' Konvergens-e az <math>a_n=\frac{5n+2}{2n+7}</math> általános tagú sorozat?  
38. sor: 28. sor:
 
:<math>\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon</math>
 
:<math>\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon</math>
  
''Megjegyzés.'' Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy ''n'' értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő ''A'' számot: helyettesítsünk ''n'' helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha ''n'' helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár ''naiv módszer''nek is.
+
Azok a ''mértani sorozat''ok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.
 +
 
 +
'''Fekadat''' – Ha <nowiki>|</nowiki>''q''<nowiki>|</nowiki> < 1, akkor (''q''<sup>n</sup>) konvergens és lim(''q''<sup>n</sup>) = 0.
 +
 
 +
Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen &epsilon; pozitív szám és keresünk olyan ''N''-et, hogy minden ''n'' > ''N''-re
 +
:<math>|q^n|<\varepsilon\,</math>
 +
teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget ''n''-re:
 +
:<math>|q^n|=|q|^n<\varepsilon\,</math>
 +
Feltehető, hogy ''q'' nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát:
 +
 
 +
:<math>\mathrm{lg}\,|q|^n<\varepsilon\,</math>
 +
:<math>n\cdot\mathrm{lg}\,|q|<\varepsilon\,</math>
 +
:<math>n>\frac{\varepsilon}{\mathrm{lg}\,|q|}\,</math>
 +
 
 +
hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha ''N''-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb ''n''-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás.
 +
 
 +
==Nullsorozatok vagy zérussorozatok==
 +
 
 +
A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.
 +
 
 +
'''Feladat'''
 +
# (''a''<sub>n</sub>) pontosan akkor nullsorozat, ha (|''a''<sub>n</sub>|) nullsorozat.
 +
# (''a''<sub>n</sub>) pontosan akkor konvergens, ha (|''a''<sub>n</sub>|) konvergens.
 +
 
 +
Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett ''rendőrelv'' egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.
 +
 
 +
'''Állítás''' – '' Majorálás nullsorozatokkal'' – Ha (&delta;<sub>n</sub>) nullsorozat és az (''a''<sub>n</sub>) sorozat olyan, hogy valamely ''M''-re minden ''n'' > ''M'' esetén
 +
:<math>|a_n|\leq \delta_n\,</math>,
 +
akkor (''a''<sub>n</sub>) is nullsorozat.
 +
 
 +
'''Feladat.'''
 +
# <math>\sin(\frac{1}{n})</math> nullsorozat
 +
# <math>\mathrm{tg(\frac{1}{n})}</math> nullsorozat
 +
 
 +
Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.
 +
 
 +
'''Tétel''' – '' A „korlátos szor nullához tartó” alakú sorozatok elve'' – Ha (&delta;<sub>n</sub>) nullsorozat és az (''a''<sub>n</sub>) korlátos sorozat olyan, akkor
 +
:<math>(a_n\cdot\delta_n)\,</math>
 +
a nullához tart.
 +
 
 +
'''Feladat.'''
 +
:<math>\frac{\sin(\frac{1}{n})}{n+\frac{1}{n}}\to 0</math>
 +
 
 +
===Konvergencia, határérték és műveletek===
 +
 
 +
''Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal'' – Az (''a''<sub>n</sub>) sorozat pontosan akkor tart az ''A'' ''valós szám''hoz, ha az (''a''<sub>n</sub> - ''A'') sorozat nullsorozat. Ezalapján a sorozatkonvergenciát vissza lehet vezetni a nullsotozatok vizsgálatára, amely megkönnyíti a sorozatok konvergenciája és a műveletek közötti kapcsolat feltárását.
 +
 
 +
'''Definíció''' – ''Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) valós számsorozat. Ekkor  
 +
#
 +
#::<math>(a_n)+(b_n)\,</math> vagy <math>(a_n+b_n)\,</math>
 +
#:jelöli az ''a''<sub>n</sub>+''b''<sub>n</sub> általános tagú sorozatot;
 +
#
 +
#::<math>(a_n)\cdot (b_n)\,</math> vagy <math>(a_n\cdot b_n)\,</math>
 +
#:jelöli az ''a''<sub>n</sub><math>\cdot</math>''b''<sub>n</sub> általános tagú sorozatot;
 +
# ha (''b''<sub>n</sub>) tagjai között csak véges sok 0 található, akkor
 +
#::<math>\frac{(a_n)}{(b_n)}</math> vagy <math>\left(\frac{a_n}{b_n}\right)\,</math>
 +
#:jelöli az ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub> általános tagú sorozatot;
 +
 
 +
 
 +
'''Megjegyzések.''' Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (''a''<sub>n</sub>) - (''b''<sub>n</sub>) sorozat tekinthető úgy, mint a (''a''<sub>n</sub>) + (-1)<math>\cdot</math>(''b''<sub>n</sub>)  sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).
 +
 
 +
 
 +
'''Tétel''' – ''A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) konvergens sorozatok, akkor
 +
#(''a''<sub>n</sub>+''b''<sub>n</sub>) is konvergens és
 +
#:<math>\lim(a_n+b_n)=\lim(a_n)+\lim(b_n)\,</math>
 +
#(''a''<sub>n</sub><math>\cdot</math>''b''<sub>n</sub>) is konvergens és
 +
#:<math>\lim(a_n\cdot b_n)=\lim(a_n)\cdot\lim(b_n)\,</math>
 +
# ha lim(b<sub>n</sub>) &ne;0, akkor (''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub>) is konvergens és
 +
#:<math>\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)}</math>
 +
 
 +
===Feladatok===
 +
 
 +
'''1.''' Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
 +
: <math>\left(\frac{2n^2-3n+9}{2+4n-n^2}\right)</math>
 +
 
 +
''(Útmutatás: a számlálót és nevezőt osszuk le a nevező legmagasabb fokú tagjával.)''
 +
 +
: <math>\frac{2n^2-3n+9}{2+4n-n^2}\;=\;\frac{2-\frac{3}{n}+\frac{9}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+\frac{4}{n}-1}\to\frac{2-0+0}{0+0-1}=\frac{2}{-1}=-2</math>
 +
Hivatkozva a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételre.
 +
 
 +
''Megjegyezzük,'' hogy polinomok hányados esetén, ha a számláló és a nevező azonos fokszámú, akkor a hányados a számláló és a nevező főegyüthatójának hányadosához tart.
 +
 
 +
 
 +
'''2.''' Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
 +
: <math>\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)</math>
 +
 
 +
''(Útmutatás: tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)''
 +
 
 +
: <math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=</math>
 +
 
 +
:: <math>=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0</math>
 +
 
 +
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
 +
:<math>(A+B)(A-B)=A^2-B^2\,</math>
 +
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
 +
:<math>A=\sqrt{n+1}</math>
 +
:<math>B=\sqrt{n}</math>
 +
szereposztásban.
 +
 
 +
 
 +
'''3.''' Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
 +
: <math>\left(n^3\cdot(\sqrt{n^4+1}\,-n^2\right)</math>
 +
 
 +
''(Útmutatás: a második tényezőt tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)''
 +
 
 +
: <math>n^3\cdot(\sqrt{n^4+1}\,-n^2)=n^2\cdot\frac{\sqrt{n^4+1}\,-n^2}{1}\cdot\frac{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}=n^2\cdot\frac{(n^4+1)-n^4}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}=</math>
 +
 
 +
::<math>=\frac{n^2}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}\;=\;\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}\,+1}\to \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}</math>
 +
 
 +
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
 +
:<math>(A+B)(A-B)=A^2-B^2\,</math>
 +
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
 +
:<math>A=\sqrt{n^4+1}</math>
 +
:<math>B=n^2\,</math>
 +
szereposztásban.
 +
 
 +
===Az Euler-féle példa===
 +
 
 +
Az
 +
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
 +
általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos.
 +
 
 +
'''Feladat.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
 +
: <math>\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^{n}</math>
 +
''(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is ''n''-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)''
 +
 +
:<math>\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^n=\left(\frac{ \cfrac{n+4}{n} }{ \cfrac{n+3}{n} }\right)^n=\frac{\left(1+\cfrac{4}{n}\right)^n}{\left(1+\cfrac{3}{n}\right)^n}\to \frac{\mathrm{e}^4}{\mathrm{e}^3}=\mathrm{e}
 +
</math>
 +
 
 +
 
  
  
 
[[Kategória:Matematika A1]]
 
[[Kategória:Matematika A1]]

A lap jelenlegi, 2008. október 14., 09:56-kori változata

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Konvergencia

DefinícióKonvergens sorozat – Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat konvergens, ha létezik olyan AR szám, hogy minden ε pozitív szám esetén megadható olyan Nε természetes szám, hogy minden az N-nél nagyobb vagy egyenlő n természetes számra |an - A| < ε. Illetve szimbolikusan:

\exists A\in\mathbb{R}\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N_\varepsilon\in\mathbb{N}\quad\forall n\in\mathbb{N}\quad\quad n\geq N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad|a_n-A|<\varepsilon


Példák. Az \left(\frac{1}{n}\right),  \left(\frac{2}{3n+4}\right), \left(\frac{3}{n^2}\right) sorozatok konvergensek.


Feladat. Konvergens-e az a_n=\frac{5n+2}{2n+7} általános tagú sorozat?

(Útmutatás: képezzük az |an - 5/2| különbséget és becsüljük felül egy 1/n szerű sorozattal, ebből az előző példa gondolatmenetével következtessünk vissza az ε-hoz szükséges N-re.)

Konvergens, ugyanis az A = 5/2 olyan szám, hogy a sorozatnak az A minden környezetén kívül csak véges sok tagja van. A konvergensséget (a definíció alapján) a következőképpen látjuk be. Rögzítsünk tetszőlegesen egy ε pozitív számot. Legyen egyelőre n tetszőleges természetes szám, és vizsgáljuk meg, hogy az |an - A| szám felülbecsülhető-e olyan sorozattal, melynek infimuma a 0. A becsléshez

\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|=\left|\frac{2(5n+2)-5(2n+7)}{2\cdot(2n+7)}\right|=\left|\frac{10n+4-10n-35)}{2\cdot(2n+7)}\right|=
\left|\frac{-31}{2\cdot(2n+7)}\right|=\frac{31}{2\cdot(2n+7)}

Ahol az utolsó lépésben kapott eredményről kell igazolnunk, hogy egy N indextől kezdve ε-nál kisebb. Ehhez oldjuk meg a

\frac{31}{2\cdot(2n+7)}<\varepsilon

egyenlőtlenséget! Reciprokot véve mindkét oldalon (és a reláció érvényességének fenntartására figyelve)

2\cdot(2n+7)>\frac{31}{\varepsilon}
n>\frac{\frac{31}{2\varepsilon}-7}{2}

Azt kaptuk tehát, hogy minden n-re, mely nagyobb az

r=\frac{\frac{31}{2\varepsilon}-7}{2}

számnál, teljesül a kívánt ε-ra vonatkozó egyenlőtlenség. Azaz N-et választhatjuk akármilyen, az r valós számnál nagyobb természetes számra, mert akkor az n > N természetes számokra biztosan igaz lesz a kívánt egyenlőtlenség. r-nél nagyobb N természetes szám pedig van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám. Tehát összefoglalva, tetszőleges ε pozitív számra, ha

n>N=\left[\frac{\frac{31}{2\varepsilon}-7}{2}\right],

ahol [.] jelöli az „egészrész”t, akkor

\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon

Azok a mértani sorozatok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.

Fekadat – Ha |q| < 1, akkor (qn) konvergens és lim(qn) = 0.

Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen ε pozitív szám és keresünk olyan N-et, hogy minden n > N-re

|q^n|<\varepsilon\,

teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget n-re:

|q^n|=|q|^n<\varepsilon\,

Feltehető, hogy q nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát:

\mathrm{lg}\,|q|^n<\varepsilon\,
n\cdot\mathrm{lg}\,|q|<\varepsilon\,
n>\frac{\varepsilon}{\mathrm{lg}\,|q|}\,

hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha N-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb n-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás.

Nullsorozatok vagy zérussorozatok

A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.

Feladat

  1. (an) pontosan akkor nullsorozat, ha (|an|) nullsorozat.
  2. (an) pontosan akkor konvergens, ha (|an|) konvergens.

Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett rendőrelv egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.

Állítás Majorálás nullsorozatokkal – Ha (δn) nullsorozat és az (an) sorozat olyan, hogy valamely M-re minden n > M esetén

|a_n|\leq \delta_n\,,

akkor (an) is nullsorozat.

Feladat.

  1. \sin(\frac{1}{n}) nullsorozat
  2. \mathrm{tg(\frac{1}{n})} nullsorozat

Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.

Tétel A „korlátos szor nullához tartó” alakú sorozatok elve – Ha (δn) nullsorozat és az (an) korlátos sorozat olyan, akkor

(a_n\cdot\delta_n)\,

a nullához tart.

Feladat.

\frac{\sin(\frac{1}{n})}{n+\frac{1}{n}}\to 0

Konvergencia, határérték és műveletek

Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal – Az (an) sorozat pontosan akkor tart az A valós számhoz, ha az (an - A) sorozat nullsorozat. Ezalapján a sorozatkonvergenciát vissza lehet vezetni a nullsotozatok vizsgálatára, amely megkönnyíti a sorozatok konvergenciája és a műveletek közötti kapcsolat feltárását.

DefinícióSorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek – Legyen (an) és (bn) valós számsorozat. Ekkor

  1. (a_n)+(b_n)\, vagy (a_n+b_n)\,
    jelöli az an+bn általános tagú sorozatot;
  2. (a_n)\cdot (b_n)\, vagy (a_n\cdot b_n)\,
    jelöli az an\cdotbn általános tagú sorozatot;
  3. ha (bn) tagjai között csak véges sok 0 található, akkor
    \frac{(a_n)}{(b_n)} vagy \left(\frac{a_n}{b_n}\right)\,
    jelöli az an/bn általános tagú sorozatot;


Megjegyzések. Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (an) - (bn) sorozat tekinthető úgy, mint a (an) + (-1)\cdot(bn) sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).


TételA konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre – Ha (an) és (bn) konvergens sorozatok, akkor

  1. (an+bn) is konvergens és
    \lim(a_n+b_n)=\lim(a_n)+\lim(b_n)\,
  2. (an\cdotbn) is konvergens és
    \lim(a_n\cdot b_n)=\lim(a_n)\cdot\lim(b_n)\,
  3. ha lim(bn) ≠0, akkor (an/bn) is konvergens és
    \lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)}

Feladatok

1. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?

\left(\frac{2n^2-3n+9}{2+4n-n^2}\right)

(Útmutatás: a számlálót és nevezőt osszuk le a nevező legmagasabb fokú tagjával.)

\frac{2n^2-3n+9}{2+4n-n^2}\;=\;\frac{2-\frac{3}{n}+\frac{9}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+\frac{4}{n}-1}\to\frac{2-0+0}{0+0-1}=\frac{2}{-1}=-2

Hivatkozva a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételre.

Megjegyezzük, hogy polinomok hányados esetén, ha a számláló és a nevező azonos fokszámú, akkor a hányados a számláló és a nevező főegyüthatójának hányadosához tart.


2. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?

\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)

(Útmutatás: tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=
=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0

Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az

(A+B)(A-B)=A^2-B^2\,

azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az

A=\sqrt{n+1}
B=\sqrt{n}

szereposztásban.


3. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?

\left(n^3\cdot(\sqrt{n^4+1}\,-n^2\right)

(Útmutatás: a második tényezőt tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)

n^3\cdot(\sqrt{n^4+1}\,-n^2)=n^2\cdot\frac{\sqrt{n^4+1}\,-n^2}{1}\cdot\frac{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}=n^2\cdot\frac{(n^4+1)-n^4}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}=
=\frac{n^2}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}\;=\;\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}\,+1}\to \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}

Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az

(A+B)(A-B)=A^2-B^2\,

azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az

A=\sqrt{n^4+1}
B=n^2\,

szereposztásban.

Az Euler-féle példa

Az

a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos.

Feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^{n}

(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is n-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)

\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^n=\left(\frac{ \cfrac{n+4}{n} }{ \cfrac{n+3}{n} }\right)^n=\frac{\left(1+\cfrac{4}{n}\right)^n}{\left(1+\cfrac{3}{n}\right)^n}\to \frac{\mathrm{e}^4}{\mathrm{e}^3}=\mathrm{e}
Személyes eszközök