Matematika A1a 2008/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 14 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
'''Példák.''' Az <math>\left(\frac{1}{n}\right)</math>, <math> \left(\frac{2}{3n+4}\right)</math>, <math>\left(\frac{3}{n^2}\right)</math> sorozatok konvergensek. | '''Példák.''' Az <math>\left(\frac{1}{n}\right)</math>, <math> \left(\frac{2}{3n+4}\right)</math>, <math>\left(\frac{3}{n^2}\right)</math> sorozatok konvergensek. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
'''Feladat.''' Konvergens-e az <math>a_n=\frac{5n+2}{2n+7}</math> általános tagú sorozat? | '''Feladat.''' Konvergens-e az <math>a_n=\frac{5n+2}{2n+7}</math> általános tagú sorozat? | ||
39. sor: | 28. sor: | ||
:<math>\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon</math> | :<math>\left|\frac{5n+2}{2n+7}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon</math> | ||
− | '' | + | Azok a ''mértani sorozat''ok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk. |
+ | |||
+ | '''Fekadat''' – Ha <nowiki>|</nowiki>''q''<nowiki>|</nowiki> < 1, akkor (''q''<sup>n</sup>) konvergens és lim(''q''<sup>n</sup>) = 0. | ||
+ | |||
+ | Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen ε pozitív szám és keresünk olyan ''N''-et, hogy minden ''n'' > ''N''-re | ||
+ | :<math>|q^n|<\varepsilon\,</math> | ||
+ | teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget ''n''-re: | ||
+ | :<math>|q^n|=|q|^n<\varepsilon\,</math> | ||
+ | Feltehető, hogy ''q'' nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát: | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{lg}\,|q|^n<\varepsilon\,</math> | ||
+ | :<math>n\cdot\mathrm{lg}\,|q|<\varepsilon\,</math> | ||
+ | :<math>n>\frac{\varepsilon}{\mathrm{lg}\,|q|}\,</math> | ||
+ | |||
+ | hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha ''N''-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb ''n''-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás. | ||
+ | |||
+ | ==Nullsorozatok vagy zérussorozatok== | ||
+ | |||
+ | A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat''' | ||
+ | # (''a''<sub>n</sub>) pontosan akkor nullsorozat, ha (|''a''<sub>n</sub>|) nullsorozat. | ||
+ | # (''a''<sub>n</sub>) pontosan akkor konvergens, ha (|''a''<sub>n</sub>|) konvergens. | ||
+ | |||
+ | Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett ''rendőrelv'' egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben. | ||
+ | |||
+ | '''Állítás''' – '' Majorálás nullsorozatokkal'' – Ha (δ<sub>n</sub>) nullsorozat és az (''a''<sub>n</sub>) sorozat olyan, hogy valamely ''M''-re minden ''n'' > ''M'' esetén | ||
+ | :<math>|a_n|\leq \delta_n\,</math>, | ||
+ | akkor (''a''<sub>n</sub>) is nullsorozat. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' | ||
+ | # <math>\sin(\frac{1}{n})</math> nullsorozat | ||
+ | # <math>\mathrm{tg(\frac{1}{n})}</math> nullsorozat | ||
+ | |||
+ | Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' – '' A „korlátos szor nullához tartó” alakú sorozatok elve'' – Ha (δ<sub>n</sub>) nullsorozat és az (''a''<sub>n</sub>) korlátos sorozat olyan, akkor | ||
+ | :<math>(a_n\cdot\delta_n)\,</math> | ||
+ | a nullához tart. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' | ||
+ | :<math>\frac{\sin(\frac{1}{n})}{n+\frac{1}{n}}\to 0</math> | ||
===Konvergencia, határérték és műveletek=== | ===Konvergencia, határérték és műveletek=== | ||
+ | |||
+ | ''Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal'' – Az (''a''<sub>n</sub>) sorozat pontosan akkor tart az ''A'' ''valós szám''hoz, ha az (''a''<sub>n</sub> - ''A'') sorozat nullsorozat. Ezalapján a sorozatkonvergenciát vissza lehet vezetni a nullsotozatok vizsgálatára, amely megkönnyíti a sorozatok konvergenciája és a műveletek közötti kapcsolat feltárását. | ||
'''Definíció''' – ''Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) valós számsorozat. Ekkor | '''Definíció''' – ''Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) valós számsorozat. Ekkor | ||
57. sor: | 89. sor: | ||
'''Megjegyzések.''' Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (''a''<sub>n</sub>) - (''b''<sub>n</sub>) sorozat tekinthető úgy, mint a (''a''<sub>n</sub>) + (-1)<math>\cdot</math>(''b''<sub>n</sub>) sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat). | '''Megjegyzések.''' Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (''a''<sub>n</sub>) - (''b''<sub>n</sub>) sorozat tekinthető úgy, mint a (''a''<sub>n</sub>) + (-1)<math>\cdot</math>(''b''<sub>n</sub>) sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat). | ||
− | |||
'''Tétel''' – ''A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) konvergens sorozatok, akkor | '''Tétel''' – ''A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) konvergens sorozatok, akkor | ||
65. sor: | 96. sor: | ||
#:<math>\lim(a_n\cdot b_n)=\lim(a_n)\cdot\lim(b_n)\,</math> | #:<math>\lim(a_n\cdot b_n)=\lim(a_n)\cdot\lim(b_n)\,</math> | ||
# ha lim(b<sub>n</sub>) ≠0, akkor (''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub>) is konvergens és | # ha lim(b<sub>n</sub>) ≠0, akkor (''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub>) is konvergens és | ||
− | #:<math>\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)}</math> | + | #:<math>\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)}</math> |
+ | |||
+ | ===Feladatok=== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak? | ||
+ | : <math>\left(\frac{2n^2-3n+9}{2+4n-n^2}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | ''(Útmutatás: a számlálót és nevezőt osszuk le a nevező legmagasabb fokú tagjával.)'' | ||
+ | |||
+ | : <math>\frac{2n^2-3n+9}{2+4n-n^2}\;=\;\frac{2-\frac{3}{n}+\frac{9}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+\frac{4}{n}-1}\to\frac{2-0+0}{0+0-1}=\frac{2}{-1}=-2</math> | ||
+ | Hivatkozva a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételre. | ||
+ | |||
+ | ''Megjegyezzük,'' hogy polinomok hányados esetén, ha a számláló és a nevező azonos fokszámú, akkor a hányados a számláló és a nevező főegyüthatójának hányadosához tart. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak? | ||
+ | : <math>\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | ''(Útmutatás: tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)'' | ||
+ | |||
+ | : <math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=</math> | ||
+ | |||
+ | :: <math>=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0</math> | ||
+ | |||
+ | Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az | ||
+ | :<math>(A+B)(A-B)=A^2-B^2\,</math> | ||
+ | azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az | ||
+ | :<math>A=\sqrt{n+1}</math> | ||
+ | :<math>B=\sqrt{n}</math> | ||
+ | szereposztásban. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak? | ||
+ | : <math>\left(n^3\cdot(\sqrt{n^4+1}\,-n^2\right)</math> | ||
+ | |||
+ | ''(Útmutatás: a második tényezőt tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)'' | ||
+ | |||
+ | : <math>n^3\cdot(\sqrt{n^4+1}\,-n^2)=n^2\cdot\frac{\sqrt{n^4+1}\,-n^2}{1}\cdot\frac{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}=n^2\cdot\frac{(n^4+1)-n^4}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}=</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>=\frac{n^2}{\sqrt{n^4+1}\,+n^2}\;=\;\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}\,+1}\to \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az | ||
+ | :<math>(A+B)(A-B)=A^2-B^2\,</math> | ||
+ | azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az | ||
+ | :<math>A=\sqrt{n^4+1}</math> | ||
+ | :<math>B=n^2\,</math> | ||
+ | szereposztásban. | ||
+ | |||
+ | ===Az Euler-féle példa=== | ||
+ | |||
+ | Az | ||
+ | :<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> | ||
+ | általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét! | ||
+ | : <math>\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^{n}</math> | ||
+ | ''(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is ''n''-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)'' | ||
+ | |||
+ | :<math>\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^n=\left(\frac{ \cfrac{n+4}{n} }{ \cfrac{n+3}{n} }\right)^n=\frac{\left(1+\cfrac{4}{n}\right)^n}{\left(1+\cfrac{3}{n}\right)^n}\to \frac{\mathrm{e}^4}{\mathrm{e}^3}=\mathrm{e} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2008. október 14., 10:56-kori változata
Tartalomjegyzék |
Konvergencia
Definíció – Konvergens sorozat – Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy minden ε pozitív szám esetén megadható olyan Nε természetes szám, hogy minden az N-nél nagyobb vagy egyenlő n természetes számra |an - A| < ε. Illetve szimbolikusan:
Példák. Az , , sorozatok konvergensek.
Feladat. Konvergens-e az általános tagú sorozat?
(Útmutatás: képezzük az |an - 5/2| különbséget és becsüljük felül egy 1/n szerű sorozattal, ebből az előző példa gondolatmenetével következtessünk vissza az ε-hoz szükséges N-re.)
Konvergens, ugyanis az A = 5/2 olyan szám, hogy a sorozatnak az A minden környezetén kívül csak véges sok tagja van. A konvergensséget (a definíció alapján) a következőképpen látjuk be. Rögzítsünk tetszőlegesen egy ε pozitív számot. Legyen egyelőre n tetszőleges természetes szám, és vizsgáljuk meg, hogy az |an - A| szám felülbecsülhető-e olyan sorozattal, melynek infimuma a 0. A becsléshez
Ahol az utolsó lépésben kapott eredményről kell igazolnunk, hogy egy N indextől kezdve ε-nál kisebb. Ehhez oldjuk meg a
egyenlőtlenséget! Reciprokot véve mindkét oldalon (és a reláció érvényességének fenntartására figyelve)
Azt kaptuk tehát, hogy minden n-re, mely nagyobb az
számnál, teljesül a kívánt ε-ra vonatkozó egyenlőtlenség. Azaz N-et választhatjuk akármilyen, az r valós számnál nagyobb természetes számra, mert akkor az n > N természetes számokra biztosan igaz lesz a kívánt egyenlőtlenség. r-nél nagyobb N természetes szám pedig van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám. Tehát összefoglalva, tetszőleges ε pozitív számra, ha
- ,
ahol [.] jelöli az „egészrész”t, akkor
Azok a mértani sorozatok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.
Fekadat – Ha |q| < 1, akkor (qn) konvergens és lim(qn) = 0.
Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen ε pozitív szám és keresünk olyan N-et, hogy minden n > N-re
teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget n-re:
Feltehető, hogy q nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát:
hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha N-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb n-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás.
Nullsorozatok vagy zérussorozatok
A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.
Feladat
- (an) pontosan akkor nullsorozat, ha (|an|) nullsorozat.
- (an) pontosan akkor konvergens, ha (|an|) konvergens.
Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett rendőrelv egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.
Állítás – Majorálás nullsorozatokkal – Ha (δn) nullsorozat és az (an) sorozat olyan, hogy valamely M-re minden n > M esetén
- ,
akkor (an) is nullsorozat.
Feladat.
- nullsorozat
- nullsorozat
Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.
Tétel – A „korlátos szor nullához tartó” alakú sorozatok elve – Ha (δn) nullsorozat és az (an) korlátos sorozat olyan, akkor
a nullához tart.
Feladat.
Konvergencia, határérték és műveletek
Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal – Az (an) sorozat pontosan akkor tart az A valós számhoz, ha az (an - A) sorozat nullsorozat. Ezalapján a sorozatkonvergenciát vissza lehet vezetni a nullsotozatok vizsgálatára, amely megkönnyíti a sorozatok konvergenciája és a műveletek közötti kapcsolat feltárását.
Definíció – Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek – Legyen (an) és (bn) valós számsorozat. Ekkor
-
- vagy
- jelöli az an+bn általános tagú sorozatot;
-
- vagy
- jelöli az anbn általános tagú sorozatot;
- ha (bn) tagjai között csak véges sok 0 található, akkor
- vagy
- jelöli az an/bn általános tagú sorozatot;
Megjegyzések. Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (an) - (bn) sorozat tekinthető úgy, mint a (an) + (-1)(bn) sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).
Tétel – A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre – Ha (an) és (bn) konvergens sorozatok, akkor
- (an+bn) is konvergens és
- (anbn) is konvergens és
- ha lim(bn) ≠0, akkor (an/bn) is konvergens és
Feladatok
1. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a számlálót és nevezőt osszuk le a nevező legmagasabb fokú tagjával.)
Hivatkozva a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételre.
Megjegyezzük, hogy polinomok hányados esetén, ha a számláló és a nevező azonos fokszámú, akkor a hányados a számláló és a nevező főegyüthatójának hányadosához tart.
2. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.
3. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a második tényezőt tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.
Az Euler-féle példa
Az
általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos.
Feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is n-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)