Matematika A1a 2008/5. gyakorlat
Definíció – Konvergens sorozat – Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy minden ε pozitív szám esetén megadható olyan Nε természetes szám, hogy minden az N-nél nagyobb vagy egyenlő n természetes számra |an - A| < ε. Illetve szimbolikusan:
Példák. Az , , sorozatok konvergensek.
Ugyanis, Előzetes ismereteink szerint a sorozatok infimuma a 0 és csökkenőek, így A-ra alkalmas értéknek látszik a 0.
Legyen ε > 0. Mindegyikre keresünk olyan N-t, amire teljesül, hogy ha n > N, akkor |an| < ε. Rendezve az egyenlőtlenségeket:
Ha tehát N a fenti tulajdonságú, akkor |an| < ε mindháromnál teljesül minden n > N-re. Ez pedig azért van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám (Archimédeszi axióma).
Feladat. Konvergens-e az általános tagú sorozat?
(Útmutatás: képezzük az |an - 5/2| különbséget és becsüljük felül egy 1/n szerű sorozattal, ebből az előző példa gondolatmenetével következtessünk vissza az ε-hoz szükséges N-re.)
Konvergens, ugyanis az A = 5/2 olyan szám, hogy a sorozatnak az A minden környezetén kívül csak véges sok tagja van. A konvergensséget (a definíció alapján) a következőképpen látjuk be. Rögzítsünk tetszőlegesen egy ε pozitív számot. Legyen egyelőre n tetszőleges természetes szám, és vizsgáljuk meg, hogy az |an - A| szám felülbecsülhető-e olyan sorozattal, melynek infimuma a 0. A becsléshez
Ahol az utolsó lépésben kapott eredményről kell igazolnunk, hogy egy N indextől kezdve ε-nál kisebb. Ehhez oldjuk meg a
egyenlőtlenséget! Reciprokot véve mindkét oldalon (és a reláció érvényességének fenntartására figyelve)
Azt kaptuk tehát, hogy minden n-re, mely nagyobb az
számnál, teljesül a kívánt ε-ra vonatkozó egyenlőtlenség. Azaz N-et választhatjuk akármilyen, az r valós számnál nagyobb természetes számra, mert akkor az n > N természetes számokra biztosan igaz lesz a kívánt egyenlőtlenség. r-nél nagyobb N természetes szám pedig van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám. Tehát összefoglalva, tetszőleges ε pozitív számra, ha
- ,
ahol [.] jelöli az „egészrész”t, akkor
Megjegyzés. Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy n értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő A számot: helyettesítsünk n helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha n helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár naiv módszernek is.