Matematika A1a 2008/5. gyakorlat
Konvergencia
Definíció – Konvergens sorozat – Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy minden ε pozitív szám esetén megadható olyan Nε természetes szám, hogy minden az N-nél nagyobb vagy egyenlő n természetes számra |an - A| < ε. Illetve szimbolikusan:
Példák. Az , , sorozatok konvergensek.
Ugyanis, Előzetes ismereteink szerint a sorozatok infimuma a 0 és csökkenőek, így A-ra alkalmas értéknek látszik a 0.
Legyen ε > 0. Mindegyikre keresünk olyan N-t, amire teljesül, hogy ha n > N, akkor |an| < ε. Rendezve az egyenlőtlenségeket:
Ha tehát N a fenti tulajdonságú, akkor |an| < ε mindháromnál teljesül minden n > N-re. Ez pedig azért van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám (Archimédeszi axióma).
Feladat. Konvergens-e az általános tagú sorozat?
(Útmutatás: képezzük az |an - 5/2| különbséget és becsüljük felül egy 1/n szerű sorozattal, ebből az előző példa gondolatmenetével következtessünk vissza az ε-hoz szükséges N-re.)
Konvergens, ugyanis az A = 5/2 olyan szám, hogy a sorozatnak az A minden környezetén kívül csak véges sok tagja van. A konvergensséget (a definíció alapján) a következőképpen látjuk be. Rögzítsünk tetszőlegesen egy ε pozitív számot. Legyen egyelőre n tetszőleges természetes szám, és vizsgáljuk meg, hogy az |an - A| szám felülbecsülhető-e olyan sorozattal, melynek infimuma a 0. A becsléshez
Ahol az utolsó lépésben kapott eredményről kell igazolnunk, hogy egy N indextől kezdve ε-nál kisebb. Ehhez oldjuk meg a
egyenlőtlenséget! Reciprokot véve mindkét oldalon (és a reláció érvényességének fenntartására figyelve)
Azt kaptuk tehát, hogy minden n-re, mely nagyobb az
számnál, teljesül a kívánt ε-ra vonatkozó egyenlőtlenség. Azaz N-et választhatjuk akármilyen, az r valós számnál nagyobb természetes számra, mert akkor az n > N természetes számokra biztosan igaz lesz a kívánt egyenlőtlenség. r-nél nagyobb N természetes szám pedig van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám. Tehát összefoglalva, tetszőleges ε pozitív számra, ha
- ,
ahol [.] jelöli az „egészrész”t, akkor
Megjegyzés. Némiképp indoklásra szorul, hogy honnan az 5/2. Egyrészt később belátjuk, hogy azonos fokszámú polinomok hányadosának határértéke a főegyütthatók hányadosa. Másrészt a sorozat konvergenciájának vizsgálatánál célszerű nagy n értékekre elképzelni mi történik a sorozattal. Ez nem egyszerű dolog, hisz legtöbb esetben a számítás elvégzése nagy nehézséget okoz, valamint naiv elképzeléseink gyakran megcsalhatnak etekinteben (amelyre példát is hozunk később). Ez esetben könnyű kitalálni a megfelelő A számot: helyettesítsünk n helyébe 1.000.000-t. Ekkor a hányados nagyjából 5.000.000 és 2.000.000 hányadosa, azaz 5/2 és ez a közelítés tovább javul, ha n helyébe nagyobb számot gondolunk. Hangsúlyozzuk, hogy más esetekben elhamarkodott következtetésekre juthatunk a kiszámoláson alapuló módszerrel, melyet nevezhetünk akár naiv módszernek is.
Konvergencia, határérték és műveletek
Definíció – Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek – Legyen (an) és (bn) valós számsorozat. Ekkor
-
- vagy
- jelöli az an+bn általános tagú sorozatot;
-
- vagy
- jelöli az anbn általános tagú sorozatot;
- ha (bn) tagjai között csak véges sok 0 található, akkor
- vagy
- jelöli az an/bn általános tagú sorozatot;
Megjegyzések. Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (an) - (bn) sorozat tekinthető úgy, mint a (an) + (-1)(bn) sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).
Másrészt függvényként értelmes lenne a hányados, mint n an/bn, mindenféle megszorítás nélkül, azonban ekkor lehetséges lenne, hogy ennek a sorozatnak az értékei legfeljebb csak véges sok indexre értelmezettek. Az ilyen sorozatok konvergencia szempontjából semmiképpen nem vizsgálhatóak, hiszen ezekre a sorozatokra a konvergencia definíciója értelmessé lenne tehető és minden véges sorozat konvergens volna, de nem lenne egyértelmű határértéke. Másrészt elvileg megengedhetőek lennének olyan sorozatok, melyek végtelen sok helyen definiáltak és és végtelen sok helyen nem definiáltak lennének, de az ilyen sorozatok egyszerűen úgy tekinthetőek, mint (a később definiált értelemben vett) részsorozatok.
Tétel – A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre – Ha (an) és (bn) konvergens sorozatok, akkor
- (an+bn) is konvergens és
- (anbn) is konvergens és
- ha lim(bn) ≠0, akkor (an/bn) is konvergens és
Feladatok
1. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a számlálót és nevezőt osszuk le a nevező legmagasabb fokú tagjával.)
Hivatkozva a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételre.
Megjegyezzük, hogy polinomok hányados esetén, ha a számláló és a nevező azonos fokszámú, akkor a hányados a számláló és a nevező főegyüthatójának hányadosához tart.
2. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.
3. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a második tényezőt tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.