Matematika A1a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2008. október 14., 11:07-kori változata

_{<Matematika A1a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Monoton, korlátos sorozatok
- 1.1 Monoton sorozat
2 Rendőr elv
- 2.1 Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel
3 Nevezetes határértékek

Monoton, korlátos sorozatok

A konvergencia alábbi, gyakran alkalmazott, elégséges feltétele a sorozatok monoton tulajdonságát helyezi előtérbe. Mindezekhez elevenítsük fel a monoton sorozat definícióját.

Monoton sorozat

Definíció – Azt mondjuk, hogy az (a_n) valós számsorozat

monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
$a_{n}\leq a_{n+1}\,$
szigorúan monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
$a_{n}< a_{n+1}\,$
monoton csökkenő vagy monoton fogyó, ha minden n természetes számra teljesül:
$a_{n+1}\leq a_n\,$
szigorúan monoton csökkenő, ha minden n természetes számra teljesül:
$a_{n+1}< a_n\,$
monoton, ha monoton növekvő vagy monoton csökkenő
szigorúan monoton, ha szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő

Megjegyzés. A monotonitást, például a szigorú monoton növekedést még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges n > m természetes számokra: a_n > a_m

Feladat. Igazoljuk, hogy az

$a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)$

általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!

(Útmutatás: használjuk fel, hogy a sin függvény a (0,π/2) intervallumon szigorúan monoton nő.)

Világos:

$n < n+1\;$

ezért reciprokot véve

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\;$

és mivel a sin függvény a (-π/2;+π/2) intervallumon szigorúan monoton növekszik, ezért a fenti egyenlőtlenséget megtartja:

$\sin\left(\frac{1}{n}\right) > \sin\left(\frac{1}{n+1}\right)\;$

Tétel – a konvergencia monoton korlátossággal megfogalmazott elégséges feltétele – Monoton, korlátos sorozat konvergens.

Megjegyzés. A konvergencia lokalitásából következik, hogy a tétel állítása olyan korlátos sorozatokra is érvényes, melyek csak egy indextől kezdve monotonak.

Bizonyítás. Legyen (a_n) monoton, korlátos valós számsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az (a_n) monoton növekvő. Világos, hogy a sorozat szuprémuma véges. Belátjuk, hogy a sorozat konvergál a sup(a_n) számhoz.

Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor a szuprémum egyenlőtlenségekkel történő jellemzése alapján sup(a_n)–ε már nem felső korlátja (a_n)-nek, így létezik N természetes szám, hogy

$a_N > \mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,$

Mivel (a_n) monoton növekvő, ezért minden n > N természetes számra

$a_n\geq a_N\,$

így minden n > N-re

$\mathrm{sup}(a_n)\geq a_n\geq a_N\,>\mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,$

ami azt jelenti, hogy az N+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(a_n) szám ε sugarú környezetében.

Rendőr elv

Tétel – Közrefogási elv – Ha (a_n) illetve (b_n) az A számhoz konvergáló sorozatok, és (c_n) olyan sorozat, hogy egy N természetes számtól kezdve minden n-re

$a_n\leq c_n\leq b_n\,$

akkor (c_n) is konvergens és határértéke A.

Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel

Definíció – Indexsorozat, részsorozatok – Azt mondjuk, hogy az (n_k) pozitív természetes számokból álló számsorozat indexsorozat, ha szigorúan monoton növekvő. Ha (n_k) indexsorozat, (a_n) pedig sorozat, akkor az

$b_k=a_{n_k}\,$

általános tagú sorozat részsorozata az (a_n) sorozatnak. Funkcionális jelöléssel, ha s sorozat és σ indexsorozat, akkor

$s\circ \sigma\,$

összetett sorozat részsorozata az s sorozatnak.

Példák.

1) Ha n_k = k² és a_n = 1/n, akkor

$a_{k^2}=\frac{1}{k^2}$

természetesen az indextől nem függ a sorzat maga, így azt is mondhatjuk, hogy a szóban forgó részsorozat az

$a_{n^2}=\frac{1}{n^2}$

melyet úgy kapunk, hogy az a_n sorozat minden négyzetszámadik tagját kiválasztjuk és az indexek szerint növekvő sorrendbe (szigorúan növekvő indexdsorozat) rakjuk:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, a₁₅, a₁₆, a₁₇, ...

Ha tehát (a_n²) = (a_k²) = (b_k), akkor ( a₁, a₄, a₉, a₁₆,...)=( b₁, b₂, b₃, b₄,...)

2) Ha n_k = k + 5 vagy általánosabban n_k = k + k₀, akkor lényegében azt kapjuk, hogy a sorozat első 5 illetve k₀ tagját levágjuk és a maradékot tekintjük:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, a₁₅, a₁₆, a₁₇, ...

Ha tehát (a_n+5) = (a_k+5) = (b_k), akkor ( a₆, a₇, a₈, a₉,...)=( b₁, b₂, b₃, b₄,...)

Tétel – Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Nevezetes határértékek

Állítás – Ha $a\,$ > 0, akkor $\lim\left(\sqrt[n]{a}\,\right)=1$

Állítás $\lim\left(\sqrt[n]{n}\,\right)=1$

1. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

$\sqrt[n]{n^2+2n+4}$

(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)

$\sqrt[n]{n^2+2n+4}\leq\sqrt[n]{n^2+2n^2+4n^2}=\sqrt[n]{7n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\sqrt[n]{n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\left(\sqrt[n]{n}\right)^2\to 1$

$\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1$

2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

$\sqrt[n^4]{n^3-3n}$

(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)

$\sqrt[n^4]{n^3-3n}\leq\sqrt[n^4]{n^3}=\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)\,^{\frac{3}{4}}\to 1$

Itt $\scriptstyle{\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)}$ az $\scriptstyle{\left(\sqrt[n]{n}\right)}$ sorozat $\scriptstyle{n_k=k^4}$ indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.

$\sqrt[n^4]{n^3-3n}\geq\sqrt[n^4]{n^3-\cfrac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt[n^4]{n^3}\to 1\cdot 1=1$

Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.

@@ 54. sor: / 54. sor: @@
 :<math>a_n\leq c_n\leq b_n\,</math>
 akkor (''c''<sub>n</sub>) is konvergens és határértéke ''A''.
+===Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel===
+'''Definíció''' – ''Indexsorozat, részsorozatok'' – Azt mondjuk, hogy az (''n''<sub>k</sub>) pozitív ''természetes'' számokból álló számsorozat '''indexsorozat''', ha szigorúan monoton növekvő.  Ha (''n''<sub>k</sub>) indexsorozat, (''a''<sub>n</sub>) pedig sorozat, akkor az
+:<math>b_k=a_{n_k}\,</math>
+általános tagú sorozat '''részsorozat'''a az (''a''<sub>n</sub>) sorozatnak. Funkcionális jelöléssel, ha ''s'' sorozat és &sigma; indexsorozat, akkor
+:<math>s\circ \sigma\,</math>
+összetett sorozat részsorozata az ''s'' sorozatnak.
+'''Példák.'''
+) Ha ''n''<sub>k</sub> = ''k''<sup>2</sup> és ''a''<sub>n</sub> = 1/''n'', akkor
+:<math>a_{k^2}=\frac{1}{k^2}</math>
+természetesen az indextől nem függ a sorzat maga, így azt is mondhatjuk, hogy a szóban forgó részsorozat az
+:<math>a_{n^2}=\frac{1}{n^2}</math>
+melyet úgy kapunk, hogy az ''a''<sub>n</sub> sorozat minden ''négyzetszámadik tagját kiválasztjuk'' és az indexek szerint növekvő sorrendbe (szigorúan növekvő indexdsorozat) rakjuk:
+:<font color="red">''a''<sub>1</sub></font>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, <font color="red">''a''<sub>4</sub></font>, ''a''<sub>5</sub>, ''a''<sub>6</sub>, ''a''<sub>7</sub>, ''a''<sub>8</sub>, <font color="red">''a''<sub>9</sub></font>, ''a''<sub>10</sub>, ''a''<sub>11</sub>, ''a''<sub>12</sub>, ''a''<sub>13</sub>, ''a''<sub>14</sub>, ''a''<sub>15</sub>, <font color="red">''a''<sub>16</sub></font>, ''a''<sub>17</sub>, ...
+Ha tehát (''a''<sub>n<sup>2</sup></sub>) = (''a''<sub>k<sup>2</sup></sub>) = (''b''<sub>k</sub>), akkor <font color="red">( ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>4</sub>, ''a''<sub>9</sub>, ''a''<sub>16</sub>,...)=( ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>3</sub>, ''b''<sub>4</sub>,...)</font>
+) Ha ''n''<sub>k</sub> = ''k'' + 5 vagy általánosabban ''n''<sub>k</sub> = ''k'' + ''k''<sub>0</sub>, akkor lényegében azt kapjuk, hogy a sorozat első 5 illetve ''k''<sub>0</sub> tagját levágjuk és a maradékot tekintjük:
+:''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ''a''<sub>4</sub>, ''a''<sub>5</sub>, <font color="red">''a''<sub>6</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>7</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>8</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>9</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>10</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>11</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>12</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>13</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>14</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>15</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>16</sub></font>, <font color="red">''a''<sub>17</sub></font>, ...
+Ha tehát (''a''<sub>n+5</sub>) = (''a''<sub>k+5</sub>) = (''b''<sub>k</sub>), akkor <font color="red">( ''a''<sub>6</sub>, ''a''<sub>7</sub>, ''a''<sub>8</sub>, ''a''<sub>9</sub>,...)=( ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>3</sub>, ''b''<sub>4</sub>,...)</font>
+'''Tétel''' – ''Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal'' – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
 ==Nevezetes határértékek==

Matematika A1a 2008/6. gyakorlat

A lap 2008. október 14., 11:07-kori változata

Tartalomjegyzék

Monoton, korlátos sorozatok

Monoton sorozat

Rendőr elv

Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel

Nevezetes határértékek

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök