Matematika A1a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Nevezetes határértékek)
 
(egy szerkesztő 10 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
 +
 +
==Gyakorlás==
 +
 +
# '''Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!'''
 +
## <math>(A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?</math>
 +
## <math>(A\cap B)\cup C=?</math>, ha <math>A\subseteq C</math>.
 +
# '''Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, ''X''-re!'''
 +
## <math> (A-X)\cup B=X\,</math>
 +
##  <math>A-X=X-A\,</math>
 +
 +
''Megoldás.''
 +
 +
1.1. Legyen ''D'' a feladatban szereplő halmaz és legyen ''U'' = ''A'' U ''B'' U ''C'' a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki ''A''-t!
 +
:<math>D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=</math>
 +
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk ''B''-t a második két tagjából ''B'' komplementert:
 +
:<math>=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=</math>
 +
ekkor a halmaz és komplementere kiadja ''U''-t, így:
 +
:<math>=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A</math>
 +
Tehát ''D'' = ''A''.
 +
 +
Vagy Boole-algebrai formalizmusban:
 +
:<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math>
 +
:<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math>
 +
 +
1.2. 
 +
:<math>(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C</math>
 +
az elnyelési tulajdonság miatt és mert ''A'' &sube; ''C'' pontosan azt jelenti, hogy ''A'' U ''C'' = ''C''.
 +
 +
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az ''X'' komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük ''X''-szel:
 +
:<math>\begin{matrix}
 +
(A-X) \cup B & = & X \\
 +
(A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\
 +
((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\
 +
(A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\
 +
(A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\
 +
B\cap X & = & X
 +
\end{matrix}</math>
 +
ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy ''X'' &sube; ''B''. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":
 +
:<math> [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B</math>
 +
amiből következik, hogy ''B'' &sube; ''X'' és ''A'' &sube; ''X''. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig
 +
:<math>X=B\,</math>
 +
 +
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor  ''A'' &sube; ''X'' = ''B'', vagyis
 +
:<math>A\subseteq B\,</math>
 +
De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az ''X'' = ''B'' helyettesítés kielégíti az egyenletet:
 +
:<math> \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B</math>
 +
2.2.
 +
:<math>A-X=X-A\,</math>
 +
vagyis
 +
:<math>A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,</math>
 +
Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon ''A''-val, akkor
 +
:<math>A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,</math>
 +
:<math>A\cap\overline{X}=\emptyset</math>
 +
azaz ''A'' &sube; ''X'', de az egyenlet ''szimmetrikus'' az ''A'' és az ''X'' felcserélésére, ezért  ''X'' &sube; ''A'' is teljesül, amiből ''X'' = ''A'', ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az ''X'' = ''A'' kielégíti.
  
 
==Monoton, korlátos sorozatok==
 
==Monoton, korlátos sorozatok==
21. sor: 75. sor:
  
  
'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy az
+
'''1. feladat.''' Igazoljuk, hogy az
 
:<math>a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)</math>
 
:<math>a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)</math>
 
általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!  
 
általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!  
55. sor: 109. sor:
 
akkor (''c''<sub>n</sub>) is konvergens és határértéke ''A''.
 
akkor (''c''<sub>n</sub>) is konvergens és határértéke ''A''.
  
===Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel===
+
==Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel==
  
 
'''Definíció''' – ''Indexsorozat, részsorozatok'' – Azt mondjuk, hogy az (''n''<sub>k</sub>) pozitív ''természetes'' számokból álló számsorozat '''indexsorozat''', ha szigorúan monoton növekvő.  Ha (''n''<sub>k</sub>) indexsorozat, (''a''<sub>n</sub>) pedig sorozat, akkor az  
 
'''Definíció''' – ''Indexsorozat, részsorozatok'' – Azt mondjuk, hogy az (''n''<sub>k</sub>) pozitív ''természetes'' számokból álló számsorozat '''indexsorozat''', ha szigorúan monoton növekvő.  Ha (''n''<sub>k</sub>) indexsorozat, (''a''<sub>n</sub>) pedig sorozat, akkor az  
79. sor: 133. sor:
  
 
'''Tétel''' – ''Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal'' – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
 
'''Tétel''' – ''Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal'' – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
 +
 +
'''2. feladat.''' Igazak-e a következő kijelentések?
 +
# Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
 +
# Ha egy sorozat monoton és van konvergens részsorozata, akkor konvergens.
 +
# Ha egy sorozat divergens, akkor az (1/n)-nel vett szorzata konvergens.
 +
# Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata.
 +
# Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata.
 +
# Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív.
 +
# Ha (a<sub>n+1</sub> <math>-\,</math> a<sub>n</sub>) nullsorozat, akkor (a<sub>n</sub>)
  
 
==Nevezetes határértékek==
 
==Nevezetes határértékek==
86. sor: 149. sor:
 
'''Állítás'''  <math>\lim\left(\sqrt[n]{n}\,\right)=1</math>
 
'''Állítás'''  <math>\lim\left(\sqrt[n]{n}\,\right)=1</math>
  
 
+
'''3. feladat.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!  
'''1.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!  
+
 
: <math>\sqrt[n]{n^2+2n+4}</math>
 
: <math>\sqrt[n]{n^2+2n+4}</math>
 
''(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)''
 
''(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)''
94. sor: 156. sor:
 
:<math>\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1</math>
 
:<math>\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1</math>
  
'''2.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!  
+
'''4. feladat.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!  
 
: <math>\sqrt[n^4]{n^3-3n}</math>
 
: <math>\sqrt[n^4]{n^3-3n}</math>
 
''(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)''
 
''(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)''
103. sor: 165. sor:
 
Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.  
 
Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.  
  
'''5.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?  
+
'''5. feladat.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?  
 
: <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math>
 
: <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math>
 
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)''
 
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)''
122. sor: 184. sor:
 
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb  konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ''&epsilon;'' = (e–2)-höz) létezik ''N'', hogy minden ''n'' > ''N''-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
 
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb  konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ''&epsilon;'' = (e–2)-höz) létezik ''N'', hogy minden ''n'' > ''N''-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
 
:<math>
 
:<math>
+\infty\leftarrow 2^n\underset{n>N}{\leq}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
+
+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
 
</math>
 
</math>
 
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +&infin;-hez tart.
 
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +&infin;-hez tart.
  
  
'''6.''' Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?  
+
'''6. feladat.''' Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?  
 
: <math>\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}</math>
 
: <math>\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}</math>
 
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)''
 
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)''
  
 
:<math>
 
:<math>
\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{  \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{\overset{\overset{\frac{1}{\mathrm{e}^7} }{\uparrow}}{\overbrace{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}}}{\underset{\underset{+\infty}{\downarrow}}{\underbrace{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}}}\to 0
+
\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{  \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to 0
  
 
</math>
 
</math>
 
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
 
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
  
 +
==Végtelen határérték==
 +
 +
Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.
 +
 +
'''Definíció.''' Tetszőleges &epsilon;>0 számra az ( 1/&epsilon; , +&infin; ) nyílt intervallumokat a +&infin;  &epsilon; sugarú kipontozott környezetének tekintjük és B<sub>&epsilon;</sub>(+&infin;)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges &epsilon;>0 számra az ( -&infin; ,  -1/&epsilon;) nyílt intervallum a -&infin; elem &epsilon; sugarú kipontozott környezetének tekintendő és B<sub>&epsilon;</sub>(-&infin;)-vel jelöljük.
 +
 +
A valós számok halmazát az -&infin; +&infin; "ideális" elemekkel kibővítve
 +
:<math>\overline{\mathbf{R}}\, </math>
 +
jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:
 +
 +
'''Definíció.''' Legyen ''A'' &isin; '''R''' U {+&infin;,-&infin;} és (''a''<sub>n</sub>) egy '''R'''-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az ''A'' határértéke az (''a''<sub>n</sub>)-nek (ekkor ''A'' = +&infin; vagy -&infin; esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha 
 +
:tetszőleges &epsilon;>0 számra az létezik ''N'' természetes szám, hogy minden ''N''-nél nagyobb ''n'' természetes számra
 +
::<math>a_n\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(A)</math>
 +
 +
Ekkor  ''A'' az egyetlen ilyen és ezt lim(''a''<sub>n</sub>)-nel jelöljük.
 +
 +
===Határozatlan esetek===
 +
Konvergens sorozatok esetén láttuk, hogy a határértékképzés felcserélhető a sorozatokkal végzett műveletek elvégzésére, azaz ha * egy alapművelet és
 +
# ''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''a'' &isin; '''R''' és ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''b'' &isin; '''R''',
 +
# (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) értelmezett és
 +
# ''a'' * ''b'' is értelmezett,
 +
akkor  ''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''a'' * ''b''.
 +
 +
Az alapműveletek között csak a nullával való osztás nincs értelmezve. Ez az előzőek fényében azt jelenti, hogy például a fenti tétel nem alkalmazható az alábbi példára:
 +
# ''a''<sub>n</sub> <math>\equiv</math> 1 <math>\to</math> 1 és ''b''<sub>n</sub> = 1/n <math>\to</math> 0,
 +
# ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub> <math>\equiv</math> 1/(1/n) értelmezett, de
 +
# 1/0 nem értelmezett
 +
és nem is konvergens a hányadossorozat, bár a határértéke a plusz végtelen.
 +
 +
Nem mondhatjuk azonban, hogy az 1/0 alakú határértéket mutató sorozatok határértéke mindig a +&infin;, hiszen az 1/(-1/n) sorozat ugyanilyen módon keletkezett, de a -&infin;-be tart. Ezt csak abban az esetben mondhatnánk, ha minden ''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> 1, és ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 sorozat esetén ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> +&infin; lenne, feltéve, hogy a sorozatok hányadosa létezik.
 +
 +
Ezt a gondolatot fogjuk használni a végtelen határértékű sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó állítás megfogalmazásánál:
 +
:Ha ''A'' és ''B'' valamelyike a +&infin; vagy -&infin; szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor valós szám), akkor az ''A'' * ''B'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''C'' szimbólumként (mely szintén vagy valós szám, vagy a +&infin;, -&infin; egyike), ha ''minden'', az ''A''-hoz tartó (''a''<sub>n</sub>) sorozatra és ''minden'', a ''B''-hez tartó (''b''<sub>n</sub>) sorozatra az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozat ''szükségszerűen'' a ''C''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
 +
::''A'' * ''B'' = ''C''
 +
:definíció jó.
 +
Például a (+&infin;) + (+&infin;) művelet feltétlenül értelmezett és értéke a +&infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a +&infin;-hez tartó sorozat összege is a +&infin;-hez tart. Ellenben például a 0<math>\cdot</math>(+&infin;) művelet nem értelmezhető, mert van két sorozatpár, mely ilyen alakú, de a szorzatuk máshoz tart: (1/n) <math>\cdot</math> n <math>\to</math> 1, de (1/n) <math>\cdot</math> n<sup>2</sup> <math>\to</math> +&infin;.
 +
 +
'''Definíció''' – ''Végtelen értékek és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a +&infin;, -&infin; szimbólumokra vonatkozóan, az alábbiakban ''r'' tetszőleges valós szám, ''p'' tetszőleges ''pozitív'' szám:
 +
# <math>(\pm\infty)+(\pm\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)+r=\pm\infty </math>,
 +
# <math>(\pm\infty)-(\mp\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)-r=\pm\infty,  \quad\quad r-(\pm\infty)=\mp\infty</math>, 
 +
# <math>(\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=+\infty, \quad\quad (+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\pm p)=+\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\mp p)=-\infty</math>,
 +
# <math>\frac{r}{\pm \infty}=0 \quad\quad \frac{\pm \infty}{\pm p}=+\infty, \quad\quad \frac{\pm \infty}{\mp p}=-\infty</math>,
 +
és a szorzás és az összeadás kommutatív.
 +
 +
 +
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
 +
# <math>(\pm\infty)-(\pm\infty)</math>,
 +
# <math>0\cdot(\pm\infty), \quad\quad (\pm\infty)\cdot 0</math>,
 +
# <math>\frac{\pm\infty}{\pm \infty}, \quad\quad \frac{\pm\infty}{\mp \infty}, \quad\quad \left(\;\frac{r}{0}\;\right)</math>.
 +
 +
 +
Továbbá értelmezhetjük a 0+ és 0- értékeket és a velük való műveletvégzést úgy, hogy
 +
''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (''a''<sub>n</sub>) sorozat egy indextől kezdve pozitív értékeket vesz fel és határértéke a 0, valamint a ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (''a''<sub>n</sub>) sorozat egy indextől kezdve negatív értékeket vesz fel és határértéke a 0. Ekkor minden művelet azt, ami a 0-ra vonatkozik ugyanaz, valamint értelmezhető az alábbi művelet: 
 +
:<math>\frac{p}{0\pm}=\pm\infty, \quad\quad \frac{-p}{0\pm}=\mp\infty,</math>.
 +
de 0/0+ és 0/0- természetesen itt sincs.
 +
 +
'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek, a fenti definíciók jók'' – Ha az (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) sorozatoknak létezik határértéke, az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozat létezik a * alapművelettel és a lim(''a''<sub>n</sub>) * lim(''b''<sub>n</sub>) alapművelet elvégezhető, akkor az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozatnak is van határértéke és ez:
 +
:<math> \lim(a_n\,\mbox{*}\, b_n)=\lim(a_n)\,\mbox{*}\, \lim(b_n) \,</math>
 +
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, a műveletsorozatok határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
 +
 +
A hatványozással kapcsoltban is vannak határozatlan esetek, ilyen az
 +
:<math>1^{\infty},\quad\quad 0^0,\quad\quad \infty^0</math>
 +
alakú határértékek. Az elsőre példa az Euler-féle határérték, a harmadikra a pozitív szám n-edik gyökökeiből álló sorozat határértéke.
 +
 +
'''1. feladat.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
 +
: <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math>
 +
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)''
 +
 +
:<math>
 +
\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }
 +
</math>
 +
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat ''n''<sub>''k''</sub> = ''k''<sup>2</sup> indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
 +
:<math>
 +
1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1
 +
</math>
 +
Tehát a sorozat az 1-hez tart.
 +
 +
A másik sorozat esetén az átalakítás:
 +
:<math>
 +
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
 +
</math>
 +
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb  konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ''&epsilon;'' = (e–2)-höz) létezik ''N'', hogy minden ''n'' > ''N''-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
 +
:<math>
 +
+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
 +
</math>
 +
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +&infin;-hez tart.
 +
 +
 +
'''2. feladat.''' Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?
 +
: <math>\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}</math>
 +
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)''
 +
 +
:<math>
 +
\left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{  \cfrac{n^2-7}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}  }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to +\infty
 +
 +
</math>
 +
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
  
  
  
 
[[Kategória:Matematika A1]]
 
[[Kategória:Matematika A1]]

A lap jelenlegi, 2009. március 25., 07:28-kori változata

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Gyakorlás

  1. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
    1. (A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?
    2. (A\cap B)\cup C=?, ha A\subseteq C.
  2. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
    1.  (A-X)\cup B=X\,
    2. A-X=X-A\,

Megoldás.

1.1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!

D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=

A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:

=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=

ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:

=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A

Tehát D = A.

Vagy Boole-algebrai formalizmusban:

d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=
 =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a

1.2.

(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C

az elnyelési tulajdonság miatt és mert AC pontosan azt jelenti, hogy A U C = C.

2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:

\begin{matrix}
(A-X) \cup B & = & X \\
(A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\
((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\
(A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\
(A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\
B\cap X & = & X 
\end{matrix}

ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy XB. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":

 [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B

amiből következik, hogy BX és AX. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig

X=B\,

Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor AX = B, vagyis

A\subseteq B\,

De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:

 \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B

2.2.

A-X=X-A\,

vagyis

A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,

Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor

A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,
A\cap\overline{X}=\emptyset

azaz AX, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért XA is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.

Monoton, korlátos sorozatok

A konvergencia alábbi, gyakran alkalmazott, elégséges feltétele a sorozatok monoton tulajdonságát helyezi előtérbe. Mindezekhez elevenítsük fel a monoton sorozat definícióját.

Monoton sorozat

Definíció – Azt mondjuk, hogy az (an) valós számsorozat

  1. monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n}\leq a_{n+1}\,
    szigorúan monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n}< a_{n+1}\,
  2. monoton csökkenő vagy monoton fogyó, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n+1}\leq a_n\,
    szigorúan monoton csökkenő, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n+1}< a_n\,
  3. monoton, ha monoton növekvő vagy monoton csökkenő
  4. szigorúan monoton, ha szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő


Megjegyzés. A monotonitást, például a szigorú monoton növekedést még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges n > m természetes számokra: an > am


1. feladat. Igazoljuk, hogy az

a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)

általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!

(Útmutatás: használjuk fel, hogy a sin függvény a (0,π/2) intervallumon szigorúan monoton nő.)

Világos:

n < n+1\;

ezért reciprokot véve

\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\;

és mivel a sin függvény a (-π/2;+π/2) intervallumon szigorúan monoton növekszik, ezért a fenti egyenlőtlenséget megtartja:

\sin\left(\frac{1}{n}\right) > \sin\left(\frac{1}{n+1}\right)\;

Tétel a konvergencia monoton korlátossággal megfogalmazott elégséges feltétele – Monoton, korlátos sorozat konvergens.


Megjegyzés. A konvergencia lokalitásából következik, hogy a tétel állítása olyan korlátos sorozatokra is érvényes, melyek csak egy indextől kezdve monotonak.

Bizonyítás. Legyen (an) monoton, korlátos valós számsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az (an) monoton növekvő. Világos, hogy a sorozat szuprémuma véges. Belátjuk, hogy a sorozat konvergál a sup(an) számhoz.

Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor a szuprémum egyenlőtlenségekkel történő jellemzése alapján sup(an)–ε már nem felső korlátja (an)-nek, így létezik N természetes szám, hogy

a_N > \mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,

Mivel (an) monoton növekvő, ezért minden n > N természetes számra

a_n\geq a_N\,

így minden n > N-re

\mathrm{sup}(a_n)\geq a_n\geq a_N\,>\mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,

ami azt jelenti, hogy az N+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(an) szám ε sugarú környezetében.

Rendőr elv

TételKözrefogási elv – Ha (an) illetve (bn) az A számhoz konvergáló sorozatok, és (cn) olyan sorozat, hogy egy N természetes számtól kezdve minden n-re

a_n\leq c_n\leq b_n\,

akkor (cn) is konvergens és határértéke A.

Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel

DefinícióIndexsorozat, részsorozatok – Azt mondjuk, hogy az (nk) pozitív természetes számokból álló számsorozat indexsorozat, ha szigorúan monoton növekvő. Ha (nk) indexsorozat, (an) pedig sorozat, akkor az

b_k=a_{n_k}\,

általános tagú sorozat részsorozata az (an) sorozatnak. Funkcionális jelöléssel, ha s sorozat és σ indexsorozat, akkor

s\circ \sigma\,

összetett sorozat részsorozata az s sorozatnak.


Példák.

1) Ha nk = k2 és an = 1/n, akkor

a_{k^2}=\frac{1}{k^2}

természetesen az indextől nem függ a sorzat maga, így azt is mondhatjuk, hogy a szóban forgó részsorozat az

a_{n^2}=\frac{1}{n^2}

melyet úgy kapunk, hogy az an sorozat minden négyzetszámadik tagját kiválasztjuk és az indexek szerint növekvő sorrendbe (szigorúan növekvő indexdsorozat) rakjuk:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, ...

Ha tehát (an2) = (ak2) = (bk), akkor ( a1, a4, a9, a16,...)=( b1, b2, b3, b4,...)

2) Ha nk = k + 5 vagy általánosabban nk = k + k0, akkor lényegében azt kapjuk, hogy a sorozat első 5 illetve k0 tagját levágjuk és a maradékot tekintjük:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, ...

Ha tehát (an+5) = (ak+5) = (bk), akkor ( a6, a7, a8, a9,...)=( b1, b2, b3, b4,...)

TételBolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

2. feladat. Igazak-e a következő kijelentések?

  1. Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
  2. Ha egy sorozat monoton és van konvergens részsorozata, akkor konvergens.
  3. Ha egy sorozat divergens, akkor az (1/n)-nel vett szorzata konvergens.
  4. Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata.
  5. Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata.
  6. Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív.
  7. Ha (an+1 -\, an) nullsorozat, akkor (an)

Nevezetes határértékek

Állítás – Ha a\, > 0, akkor \lim\left(\sqrt[n]{a}\,\right)=1

Állítás \lim\left(\sqrt[n]{n}\,\right)=1

3. feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

\sqrt[n]{n^2+2n+4}

(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)

\sqrt[n]{n^2+2n+4}\leq\sqrt[n]{n^2+2n^2+4n^2}=\sqrt[n]{7n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\sqrt[n]{n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\left(\sqrt[n]{n}\right)^2\to 1
\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1

4. feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

\sqrt[n^4]{n^3-3n}

(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)

\sqrt[n^4]{n^3-3n}\leq\sqrt[n^4]{n^3}=\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)\,^{\frac{3}{4}}\to 1

Itt \scriptstyle{\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)} az \scriptstyle{\left(\sqrt[n]{n}\right)} sorozat \scriptstyle{n_k=k^4} indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.

\sqrt[n^4]{n^3-3n}\geq\sqrt[n^4]{n^3-\cfrac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt[n^4]{n^3}\to 1\cdot 1=1

Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.

5. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)


\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:


1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1

Tehát a sorozat az 1-hez tart.

A másik sorozat esetén az átalakítás:


\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.


+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.


6. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)


\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{  \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to 0

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.

Végtelen határérték

Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.

Definíció. Tetszőleges ε>0 számra az ( 1/ε , +∞ ) nyílt intervallumokat a +∞ ε sugarú kipontozott környezetének tekintjük és Bε(+∞)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges ε>0 számra az ( -∞ , -1/ε) nyílt intervallum a -∞ elem ε sugarú kipontozott környezetének tekintendő és Bε(-∞)-vel jelöljük.

A valós számok halmazát az -∞ +∞ "ideális" elemekkel kibővítve

\overline{\mathbf{R}}\,

jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:

Definíció. Legyen AR U {+∞,-∞} és (an) egy R-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az A határértéke az (an)-nek (ekkor A = +∞ vagy -∞ esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha

tetszőleges ε>0 számra az létezik N természetes szám, hogy minden N-nél nagyobb n természetes számra
a_n\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(A)

Ekkor A az egyetlen ilyen és ezt lim(an)-nel jelöljük.

Határozatlan esetek

Konvergens sorozatok esetén láttuk, hogy a határértékképzés felcserélhető a sorozatokkal végzett műveletek elvégzésére, azaz ha * egy alapművelet és

  1. an \to aR és bn \to bR,
  2. (an * bn) értelmezett és
  3. a * b is értelmezett,

akkor an * bn \to a * b.

Az alapműveletek között csak a nullával való osztás nincs értelmezve. Ez az előzőek fényében azt jelenti, hogy például a fenti tétel nem alkalmazható az alábbi példára:

  1. an \equiv 1 \to 1 és bn = 1/n \to 0,
  2. an/bn \equiv 1/(1/n) értelmezett, de
  3. 1/0 nem értelmezett

és nem is konvergens a hányadossorozat, bár a határértéke a plusz végtelen.

Nem mondhatjuk azonban, hogy az 1/0 alakú határértéket mutató sorozatok határértéke mindig a +∞, hiszen az 1/(-1/n) sorozat ugyanilyen módon keletkezett, de a -∞-be tart. Ezt csak abban az esetben mondhatnánk, ha minden an \to 1, és bn \to 0 sorozat esetén an/bn \to +∞ lenne, feltéve, hogy a sorozatok hányadosa létezik.

Ezt a gondolatot fogjuk használni a végtelen határértékű sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó állítás megfogalmazásánál:

Ha A és B valamelyike a +∞ vagy -∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor valós szám), akkor az A * B alapműveletet akkor értelmezzük a C szimbólumként (mely szintén vagy valós szám, vagy a +∞, -∞ egyike), ha minden, az A-hoz tartó (an) sorozatra és minden, a B-hez tartó (bn) sorozatra az (an * bn) sorozat szükségszerűen a C-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
A * B = C
definíció jó.

Például a (+∞) + (+∞) művelet feltétlenül értelmezett és értéke a +∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a +∞-hez tartó sorozat összege is a +∞-hez tart. Ellenben például a 0\cdot(+∞) művelet nem értelmezhető, mert van két sorozatpár, mely ilyen alakú, de a szorzatuk máshoz tart: (1/n) \cdot n \to 1, de (1/n) \cdot n2 \to +∞.

DefinícióVégtelen értékek és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a +∞, -∞ szimbólumokra vonatkozóan, az alábbiakban r tetszőleges valós szám, p tetszőleges pozitív szám:

  1. (\pm\infty)+(\pm\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)+r=\pm\infty ,
  2. (\pm\infty)-(\mp\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)-r=\pm\infty,  \quad\quad r-(\pm\infty)=\mp\infty,
  3. (\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=+\infty, \quad\quad (+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\pm p)=+\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\mp p)=-\infty,
  4. \frac{r}{\pm \infty}=0 \quad\quad \frac{\pm \infty}{\pm p}=+\infty, \quad\quad \frac{\pm \infty}{\mp p}=-\infty,

és a szorzás és az összeadás kommutatív.


DefinícióHatározatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

  1. (\pm\infty)-(\pm\infty),
  2. 0\cdot(\pm\infty), \quad\quad (\pm\infty)\cdot 0,
  3. \frac{\pm\infty}{\pm \infty}, \quad\quad \frac{\pm\infty}{\mp \infty}, \quad\quad \left(\;\frac{r}{0}\;\right).


Továbbá értelmezhetjük a 0+ és 0- értékeket és a velük való műveletvégzést úgy, hogy an \to 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (an) sorozat egy indextől kezdve pozitív értékeket vesz fel és határértéke a 0, valamint a bn \to 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (an) sorozat egy indextől kezdve negatív értékeket vesz fel és határértéke a 0. Ekkor minden művelet azt, ami a 0-ra vonatkozik ugyanaz, valamint értelmezhető az alábbi művelet:

\frac{p}{0\pm}=\pm\infty, \quad\quad \frac{-p}{0\pm}=\mp\infty,.

de 0/0+ és 0/0- természetesen itt sincs.

TételVégtelen határérték és alapműveletek, a fenti definíciók jók – Ha az (an) és (bn) sorozatoknak létezik határértéke, az (an * bn) sorozat létezik a * alapművelettel és a lim(an) * lim(bn) alapművelet elvégezhető, akkor az (an * bn) sorozatnak is van határértéke és ez:

 \lim(a_n\,\mbox{*}\, b_n)=\lim(a_n)\,\mbox{*}\, \lim(b_n) \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, a műveletsorozatok határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A hatványozással kapcsoltban is vannak határozatlan esetek, ilyen az

1^{\infty},\quad\quad 0^0,\quad\quad \infty^0

alakú határértékek. Az elsőre példa az Euler-féle határérték, a harmadikra a pozitív szám n-edik gyökökeiből álló sorozat határértéke.

1. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)


\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:


1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1

Tehát a sorozat az 1-hez tart.

A másik sorozat esetén az átalakítás:


\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.


+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.


2. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)


\left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{  \cfrac{n^2-7}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}  }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to +\infty

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.

Személyes eszközök