Matematika A1a 2008/6. gyakorlat

_{<Matematika A1a 2008}

Monoton, korlátos sorozatok

A konvergencia alábbi, gyakran alkalmazott, elégséges feltétele a sorozatok monoton tulajdonságát helyezi előtérbe. Mindezekhez elevenítsük fel a monoton sorozat definícióját.

Monoton sorozat

Definíció – Azt mondjuk, hogy az (a_n) valós számsorozat

1. monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:

   $a_{n}\leq a_{n+1}\,$

   szigorúan monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:

   $a_{n}< a_{n+1}\,$

2. monoton csökkenő vagy monoton fogyó, ha minden n természetes számra teljesül:

   $a_{n+1}\leq a_n\,$

   szigorúan monoton csökkenő, ha minden n természetes számra teljesül:

   $a_{n+1}< a_n\,$

3. monoton, ha monoton növekvő vagy monoton csökkenő
4. szigorúan monoton, ha szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő

Megjegyzés. A monotonitást, például a szigorú monoton növekedést még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges n > m természetes számokra: a_n > a_m

Feladat. Igazoljuk, hogy az

$a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)$

általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!

(Útmutatás: használjuk fel, hogy a sin függvény a (0,π/2) intervallumon szigorúan monoton nő.)

Világos:

$n < n+1\;$

ezért reciprokot véve

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\;$

és mivel a sin függvény a (-π/2;+π/2) intervallumon szigorúan monoton növekszik, ezért a fenti egyenlőtlenséget megtartja:

$\sin\left(\frac{1}{n}\right) > \sin\left(\frac{1}{n+1}\right)\;$

Tétel – a konvergencia monoton korlátossággal megfogalmazott elégséges feltétele – Monoton, korlátos sorozat konvergens.

Megjegyzés. A konvergencia lokalitásából következik, hogy a tétel állítása olyan korlátos sorozatokra is érvényes, melyek csak egy indextől kezdve monotonak.

Bizonyítás. Legyen (a_n) monoton, korlátos valós számsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az (a_n) monoton növekvő. Világos, hogy a sorozat szuprémuma véges. Belátjuk, hogy a sorozat konvergál a sup(a_n) számhoz.

Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor a szuprémum egyenlőtlenségekkel történő jellemzése alapján sup(a_n)–ε már nem felső korlátja (a_n)-nek, így létezik N természetes szám, hogy

$a_N > \mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,$

Mivel (a_n) monoton növekvő, ezért minden n > N természetes számra

$a_n\geq a_N\,$

így minden n > N-re

$\mathrm{sup}(a_n)\geq a_n\geq a_N\,>\mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,$

ami azt jelenti, hogy az N+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(a_n) szám ε sugarú környezetében.

Rendőr elv

Tétel – Közrefogási elv – Ha (a_n) illetve (b_n) az A számhoz konvergáló sorozatok, és (c_n) olyan sorozat, hogy egy N természetes számtól kezdve minden n-re

$a_n\leq c_n\leq b_n\,$

akkor (c_n) is konvergens és határértéke A.

Nevezetes határértékek

Állítás – Ha $a\,$ > 0, akkor $\lim\left(\sqrt[n]{a}\,\right)=1$

Állítás $\lim\left(\sqrt[n]{n}\,\right)=1$

Állítás – Ha p_n > 0 általános tagú sorozat polinomrendű, azaz létezik k természetes szám és A pozitív szám, hogy

$\frac{p_n}{n^k}\to A\,$

akkor

$\lim\left(\sqrt[n]{p_n}\,\right)=1$

1. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

$\sqrt[n]{n^2+2n+4}$

(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)

$\sqrt[n]{n^2+2n+4}\underset{\scriptstyle{1\leq n\leq n^2}}{\leq}\sqrt[n]{n^2+2n^2+4n^2}=\sqrt[n]{7n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\sqrt[n]{n^2}=\underset{\underset{1}{\downarrow}}{\underbrace{\sqrt[n]{7}}}\cdot\underset{\underset{1}{\downarrow}}{\underbrace{\left(\sqrt[n]{n}\right)^2}}\to 1$

$\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1$

2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

$\sqrt[n^4]{n^3-3n}$

(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)

$\sqrt[n^4]{n^3-3n}\leq\sqrt[n^4]{n^3}=\underset{\underset{1}{\downarrow}}{\underbrace{\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)}}\,^{\frac{3}{4}}\to 1$

Itt $\scriptstyle{\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)}$ az $\scriptstyle{\left(\sqrt[n]{n}\right)}$ sorozat $\scriptstyle{n_k=k^4}$ indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.

$\sqrt[n^4]{n^3-3n}\underset{ \underset{\scriptstyle{(n>2)}}{3n\leq\frac{n^3}{2}} }{\geq}\sqrt[n^4]{n^3-\cfrac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt[n^4]{n^3}\to 1\cdot 1=1$

Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.