Matematika A1a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. október 14., 10:19-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Monoton, korlátos sorozatok

A konvergencia alábbi, gyakran alkalmazott, elégséges feltétele a sorozatok monoton tulajdonságát helyezi előtérbe. Mindezekhez elevenítsük fel a monoton sorozat definícióját.

Monoton sorozat

Definíció – Azt mondjuk, hogy az (an) valós számsorozat

  1. monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n}\leq a_{n+1}\,
    szigorúan monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n}< a_{n+1}\,
  2. monoton csökkenő vagy monoton fogyó, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n+1}\leq a_n\,
    szigorúan monoton csökkenő, ha minden n természetes számra teljesül:
     a_{n+1}< a_n\,
  3. monoton, ha monoton növekvő vagy monoton csökkenő
  4. szigorúan monoton, ha szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő


Megjegyzés. A monotonitást, például a szigorú monoton növekedést még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges n > m természetes számokra: an > am


1. feladat. Igazoljuk, hogy az

a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)

általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!

(Útmutatás: használjuk fel, hogy a sin függvény a (0,π/2) intervallumon szigorúan monoton nő.)

Világos:

n < n+1\;

ezért reciprokot véve

\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\;

és mivel a sin függvény a (-π/2;+π/2) intervallumon szigorúan monoton növekszik, ezért a fenti egyenlőtlenséget megtartja:

\sin\left(\frac{1}{n}\right) > \sin\left(\frac{1}{n+1}\right)\;

Tétel a konvergencia monoton korlátossággal megfogalmazott elégséges feltétele – Monoton, korlátos sorozat konvergens.


Megjegyzés. A konvergencia lokalitásából következik, hogy a tétel állítása olyan korlátos sorozatokra is érvényes, melyek csak egy indextől kezdve monotonak.

Bizonyítás. Legyen (an) monoton, korlátos valós számsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az (an) monoton növekvő. Világos, hogy a sorozat szuprémuma véges. Belátjuk, hogy a sorozat konvergál a sup(an) számhoz.

Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor a szuprémum egyenlőtlenségekkel történő jellemzése alapján sup(an)–ε már nem felső korlátja (an)-nek, így létezik N természetes szám, hogy

a_N > \mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,

Mivel (an) monoton növekvő, ezért minden n > N természetes számra

a_n\geq a_N\,

így minden n > N-re

\mathrm{sup}(a_n)\geq a_n\geq a_N\,>\mathrm{sup}(a_n)-\varepsilon\,

ami azt jelenti, hogy az N+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(an) szám ε sugarú környezetében.

Rendőr elv

TételKözrefogási elv – Ha (an) illetve (bn) az A számhoz konvergáló sorozatok, és (cn) olyan sorozat, hogy egy N természetes számtól kezdve minden n-re

a_n\leq c_n\leq b_n\,

akkor (cn) is konvergens és határértéke A.

Részsorozatok, Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel

DefinícióIndexsorozat, részsorozatok – Azt mondjuk, hogy az (nk) pozitív természetes számokból álló számsorozat indexsorozat, ha szigorúan monoton növekvő. Ha (nk) indexsorozat, (an) pedig sorozat, akkor az

b_k=a_{n_k}\,

általános tagú sorozat részsorozata az (an) sorozatnak. Funkcionális jelöléssel, ha s sorozat és σ indexsorozat, akkor

s\circ \sigma\,

összetett sorozat részsorozata az s sorozatnak.


Példák.

1) Ha nk = k2 és an = 1/n, akkor

a_{k^2}=\frac{1}{k^2}

természetesen az indextől nem függ a sorzat maga, így azt is mondhatjuk, hogy a szóban forgó részsorozat az

a_{n^2}=\frac{1}{n^2}

melyet úgy kapunk, hogy az an sorozat minden négyzetszámadik tagját kiválasztjuk és az indexek szerint növekvő sorrendbe (szigorúan növekvő indexdsorozat) rakjuk:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, ...

Ha tehát (an2) = (ak2) = (bk), akkor ( a1, a4, a9, a16,...)=( b1, b2, b3, b4,...)

2) Ha nk = k + 5 vagy általánosabban nk = k + k0, akkor lényegében azt kapjuk, hogy a sorozat első 5 illetve k0 tagját levágjuk és a maradékot tekintjük:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, ...

Ha tehát (an+5) = (ak+5) = (bk), akkor ( a6, a7, a8, a9,...)=( b1, b2, b3, b4,...)

TételBolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel részsorozatokkal – Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

2. feladat. Igazak-e a következő kijelentések?

  1. Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
  2. Ha egy sorozat monoton és van konvergens részsorozata, akkor konvergens.
  3. Ha egy sorozat divergens, akkor az (1/n)-nel vett szorzata konvergens.
  4. Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata.
  5. Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata.
  6. Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív.
  7. Ha (an+1 -\, an) nullsorozat, akkor (an)

Nevezetes határértékek

Állítás – Ha a\, > 0, akkor \lim\left(\sqrt[n]{a}\,\right)=1

Állítás \lim\left(\sqrt[n]{n}\,\right)=1

3. feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

\sqrt[n]{n^2+2n+4}

(Útmutatás: közvetlenül rendőrelvvel, vagy a polinom n-edik gyökének határértékére vonatkozó állítással.)

\sqrt[n]{n^2+2n+4}\leq\sqrt[n]{n^2+2n^2+4n^2}=\sqrt[n]{7n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\sqrt[n]{n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\left(\sqrt[n]{n}\right)^2\to 1
\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1

4. feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

\sqrt[n^4]{n^3-3n}

(Útmutatás: a legmagasabb fokú tag felével becsüljük felül (vagy alul, ha kell) a kisebb fokú tagokat, majd alkalmazzuk a rendőrelvet.)

\sqrt[n^4]{n^3-3n}\leq\sqrt[n^4]{n^3}=\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)\,^{\frac{3}{4}}\to 1

Itt \scriptstyle{\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)} az \scriptstyle{\left(\sqrt[n]{n}\right)} sorozat \scriptstyle{n_k=k^4} indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.

\sqrt[n^4]{n^3-3n}\geq\sqrt[n^4]{n^3-\cfrac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt[n^4]{n^3}\to 1\cdot 1=1

Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.

5. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)


\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:


1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1

Tehát a sorozat az 1-hez tart.

A másik sorozat esetén az átalakítás:


\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.


+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.


6. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)


\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{  \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to 0

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.

Személyes eszközök