Matematika A1a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Pontbeli folytonosság) |
||
102. sor: | 102. sor: | ||
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | '''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
:<math>(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)</math> | :<math>(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)</math> | ||
+ | Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. | ||
+ | '''Példa.''' abs: x <math>\mapsto</math> |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük: | ||
+ | :<math>\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,</math> | ||
+ | Tetszőleges ''u'' pontra igaz a következő becslés: | ||
+ | :<math>||x|-|u||\leq |x-u|\,</math> | ||
+ | mert a háromszög egyenlőtlenség miatt: | ||
+ | :<math>|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>|x|-|u|\leq|x-u|\,</math> | ||
+ | illetve | ||
+ | :<math>|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>|u|-|x|\leq|x-u|\,</math> | ||
+ | Tehát | ||
+ | :<math>||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,</math> | ||
+ | Ezért ha δ:=ε, akkor: | ||
+ | :<math>|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,</math> | ||
+ | '''Heine-féle jellemzés.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
+ | :<math>(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)</math> | ||
+ | Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Pontbeli nemfolytonosság jellemzése.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
+ | :létezik olyan <math>(x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>x_n\to u</math>, de <math>f(x_n)\not\to f(u)</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix} | ||
+ | +1,&\mbox{ ha} & x>0 \\ | ||
+ | 0,&\mbox{ ha} & x=0 \\ | ||
+ | -1,&\mbox{ ha} & x<0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Nem folytonos a 0-ban. | ||
+ | |||
+ | Hiszen ha <math>x_n</math> a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor <math>f(x_n)</math>≡+1, miközben f(0)=0≠+1. | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2009. március 24., 11:05-kori változata
Végtelen határérték
Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.
Definíció. Tetszőleges ε>0 számra az ( 1/ε , +∞ ) nyílt intervallumokat a +∞ ε sugarú kipontozott környezetének tekintjük és Bε(+∞)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges ε>0 számra az ( -∞ , -1/ε) nyílt intervallum a -∞ elem ε sugarú kipontozott környezetének tekintendő és Bε(-∞)-vel jelöljük.
A valós számok halmazát az -∞ +∞ "ideális" elemekkel kibővítve
jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:
Definíció. Legyen A ∈ R U {+∞,-∞} és (an) egy R-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az A határértéke az (an)-nek (ekkor A = +∞ vagy -∞ esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha
- tetszőleges ε>0 számra az létezik N természetes szám, hogy minden N-nél nagyobb n természetes számra
Ekkor A az egyetlen ilyen és ezt lim(an)-nel jelöljük.
Határozatlan esetek
Konvergens sorozatok esetén láttuk, hogy a határértékképzés felcserélhető a sorozatokkal végzett műveletek elvégzésére, azaz ha * egy alapművelet és
- an a ∈ R és bn b ∈ R,
- (an * bn) értelmezett és
- a * b is értelmezett,
akkor an * bn a * b.
Az alapműveletek között csak a nullával való osztás nincs értelmezve. Ez az előzőek fényében azt jelenti, hogy például a fenti tétel nem alkalmazható az alábbi példára:
- an 1 1 és bn = 1/n 0,
- an/bn 1/(1/n) értelmezett, de
- 1/0 nem értelmezett
és nem is konvergens a hányadossorozat, bár a határértéke a plusz végtelen.
Nem mondhatjuk azonban, hogy az 1/0 alakú határértéket mutató sorozatok határértéke mindig a +∞, hiszen az 1/(-1/n) sorozat ugyanilyen módon keletkezett, de a -∞-be tart. Ezt csak abban az esetben mondhatnánk, ha minden an 1, és bn 0 sorozat esetén an/bn +∞ lenne, feltéve, hogy a sorozatok hányadosa létezik.
Ezt a gondolatot fogjuk használni a végtelen határértékű sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó állítás megfogalmazásánál:
- Ha A és B valamelyike a +∞ vagy -∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor valós szám), akkor az A * B alapműveletet akkor értelmezzük a C szimbólumként (mely szintén vagy valós szám, vagy a +∞, -∞ egyike), ha minden, az A-hoz tartó (an) sorozatra és minden, a B-hez tartó (bn) sorozatra az (an * bn) sorozat szükségszerűen a C-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
- A * B = C
- definíció jó.
Például a (+∞) + (+∞) művelet feltétlenül értelmezett és értéke a +∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a +∞-hez tartó sorozat összege is a +∞-hez tart. Ellenben például a 0(+∞) művelet nem értelmezhető, mert van két sorozatpár, mely ilyen alakú, de a szorzatuk máshoz tart: (1/n) n 1, de (1/n) n2 +∞.
Definíció – Végtelen értékek és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a +∞, -∞ szimbólumokra vonatkozóan, az alábbiakban r tetszőleges valós szám, p tetszőleges pozitív szám:
- ,
- ,
- ,
- ,
és a szorzás és az összeadás kommutatív.
Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
- ,
- ,
- .
Továbbá értelmezhetjük a 0+ és 0- értékeket és a velük való műveletvégzést úgy, hogy
an 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (an) sorozat egy indextől kezdve pozitív értékeket vesz fel és határértéke a 0, valamint a bn 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (an) sorozat egy indextől kezdve negatív értékeket vesz fel és határértéke a 0. Ekkor minden művelet azt, ami a 0-ra vonatkozik ugyanaz, valamint értelmezhető az alábbi művelet:
- .
de 0/0+ és 0/0- természetesen itt sincs.
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek, a fenti definíciók jók – Ha az (an) és (bn) sorozatoknak létezik határértéke, az (an * bn) sorozat létezik a * alapművelettel és a lim(an) * lim(bn) alapművelet elvégezhető, akkor az (an * bn) sorozatnak is van határértéke és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, a műveletsorozatok határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
A hatványozással kapcsoltban is vannak határozatlan esetek, ilyen az
alakú határértékek. Az elsőre példa az Euler-féle határérték, a harmadikra a pozitív szám n-edik gyökökeiből álló sorozat határértéke.
1. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
Tehát a sorozat az 1-hez tart.
A másik sorozat esetén az átalakítás:
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.
2. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?
(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
Pontbeli folytonosság
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Példa. abs: x |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
azaz
illetve
azaz
Tehát
Ezért ha δ:=ε, akkor:
Heine-féle jellemzés. Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Példa.
Nem folytonos a 0-ban.
Hiszen ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.