Matematika A1a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Pontbeli folytonosság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
86. sor: | 86. sor: | ||
A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés. | A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés. | ||
− | + | Injektív egy f függvény, ha <math> f(x_1)=f(x_2)</math>-ből <math>x_1=x_2</math> következik az f értelmezési tartományában lévő ''minden'' <math>x_1</math> és <math>x_2</math>-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk: | |
− | + | ||
− | Injektív egy függvény, ha <math> f(x_1)=f(x_2)</math>-ből <math>x_1=x_2</math> következik az f értelmezési tartományában lévő ''minden'' <math>x_1</math> és <math>x_2</math>-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk: | + | |
:<math>\begin{matrix} | :<math>\begin{matrix} | ||
2^{x+8}=2^{x^2+5}\\ | 2^{x+8}=2^{x^2+5}\\ | ||
102. sor: | 100. sor: | ||
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
− | '' | + | Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze: |
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Ran}(f)\,</math> | ||
+ | :<math>f^{-1}(y)=x,\quad f(x)=y\,</math> | ||
+ | |||
+ | Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz. | ||
+ | |||
+ | '''Állítás.''' Ha f: <math>I</math> <math>\to</math> '''R''' szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos. | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f<sup>-1</sup> balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-&infty;,v]-ben olyan (y<sub>n</sub>) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f<sup>-1</sup>(y<sub>n</sub>)=x<sub>n</sub> nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (x<sub>n</sub>) is (-&infty;,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(y<sub>n</sub>) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (x<sub>n</sub>)-nek a B--W-tétel miatt van | ||
+ | :<math>x_{n_k}\to \liminf(x_n)< u</math> | ||
+ | konvergens részsorozata (ha liminf(x<sub>n</sub>) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(x<sub>n</sub>) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | |||
+ | ==Bolzano-tétel== | ||
+ | |||
+ | '''Bolzano-tétel''' Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye. | ||
+ | |||
+ | '''Állítás.''' | ||
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos. | A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos. |
A lap 2009. március 25., 09:06-kori változata
Tartalomjegyzék |
Pontbeli folytonosság
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Példa. x folytonos.
Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.
Ha u=0, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.
Példa. abs: x |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
azaz
illetve
azaz
Tehát
Ezért ha δ:=ε, akkor:
Heine-féle jellemzés. Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Példa.
Nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.
Példa.
nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha
akkor a pozitívok felől, de
Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor ).
Folytonosság és műveletek
Folytonosság és alapműveletek
FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.
Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.
Folytonosság és függvényműveletek
A függvényműveletek közül a legfontosabb, a függvénykompozíció:
Legyen f,g: R R u ∈ Dom(fg). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor fg folytonos u-ban.
A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.
Injektív egy f függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:
vagy
Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:
Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.
Állítás. Ha f: I R szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.
Ugyanis, Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f-1 balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-&infty;,v]-ben olyan (yn) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f-1(yn)=xn nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (xn) is (-&infty;,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(yn) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (xn)-nek a B--W-tétel miatt van
konvergens részsorozata (ha liminf(xn) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(xn) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.
Példa.
Bolzano-tétel
Bolzano-tétel Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye.
Állítás.
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.