Matematika A1a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Végtelen határérték)
(Folytonosság és függvényműveletek)
 
(egy szerkesztő 14 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
  
==Végtelen határérték==
 
  
Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.
+
==Pontbeli folytonosság==
  
'''Definíció.''' Tetszőleges &epsilon;>0 számra az ( 1/&epsilon; , +&infin; ) nyílt intervallumokat a +&infin;  &epsilon; sugarú kipontozott környezetének tekintjük és B<sub>&epsilon;</sub>(+&infin;)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges &epsilon;>0 számra az ( -&infin; ,  -1/&epsilon;) nyílt intervallum a -&infin; elem &epsilon; sugarú kipontozott környezetének tekintendő és B<sub>&epsilon;</sub>(-&infin;)-vel jelöljük.
+
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
 +
:<math>(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)</math>
 +
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
  
A valós számok halmazát az -&infin; +&infin; "ideális" elemekkel kibővítve
+
'''Példa.''' ''x'' <math>\mapsto</math> <math>\sqrt{x}</math> folytonos.
:<math>\overline{\mathbf{R}}\, </math>  
+
jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:
+
  
'''Definíció.''' Legyen ''A'' &isin; '''R''' U {+&infin;,-&infin;} és (''a''<sub>n</sub>) egy '''R'''-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az ''A'' határértéke az (''a''<sub>n</sub>)-nek (ekkor ''A'' = +&infin; vagy -&infin; esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha 
+
Legyen ''u'' > 0 és &epsilon; > 0. Legyen egyelőre &delta; tetszőlges. Ha ''x'' > 0 olyan, hogy |''x'' - ''u''| < &delta;, akkor
:tetszőleges &epsilon;>0 számra az létezik ''N'' természetes szám, hogy minden ''N''-nél nagyobb ''n'' természetes számra
+
:<math>|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=\frac{|x-u|}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\leq \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\varepsilon\,</math>
::<math>a_n\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(A)</math>
+
tehát az &epsilon;-hoz a &delta;=&epsilon;/(\|u)-t kell választanunk.
  
Ekkor  ''A'' az egyetlen ilyen és ezt lim(''a''<sub>n</sub>)-nel jelöljük.
+
Ha u=0, akkor
 +
:<math>
 +
\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon\,</math>
 +
tehát az &epsilon;-hoz a &delta;=&epsilon;<sup>2</sup>-t kell választanunk.
  
===Határozatlan esetek===
+
'''Példa.''' abs: x <math>\mapsto</math> |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Konvergens sorozatok esetén láttuk, hogy a határértékképzés felcserélhető a sorozatokkal végzett műveletek elvégzésére, azaz ha * egy alapművelet és
+
:<math>\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,</math>
# ''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''a'' &isin; '''R''' és ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''b'' &isin; '''R''',
+
Tetszőleges ''u'' pontra igaz a következő becslés:
# (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) értelmezett és
+
:<math>||x|-|u||\leq |x-u|\,</math>
# ''a'' * ''b'' is értelmezett,
+
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
akkor  ''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''a'' * ''b''.
+
:<math>|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>|x|-|u|\leq|x-u|\,</math>
 +
illetve
 +
:<math>|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>|u|-|x|\leq|x-u|\,</math>
 +
Tehát
 +
:<math>||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,</math>
 +
Ezért ha &delta;:=&epsilon;, akkor:
 +
:<math>|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,</math>
  
Az alapműveletek között csak a nullával való osztás nincs értelmezve. Ez az előzőek fényében azt jelenti, hogy például a fenti tétel nem alkalmazható az alábbi példára:
+
'''Heine-féle jellemzés.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
# ''a''<sub>n</sub> <math>\equiv</math> 1 <math>\to</math> 1 és ''b''<sub>n</sub> = 1/n <math>\to</math> 0,
+
:<math>(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)</math>
# ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub> <math>\equiv</math> 1/(1/n) értelmezett, de
+
# 1/0 nem értelmezett
+
és nem is konvergens a hányadossorozat, bár a határértéke a plusz végtelen.
+
  
Nem mondhatjuk azonban, hogy az 1/0 alakú határértéket mutató sorozatok határértéke mindig a +&infin;, hiszen az 1/(-1/n) sorozat ugyanilyen módon keletkezett, de a -&infin;-be tart. Ezt csak abban az esetben mondhatnánk, ha minden ''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> 1, és ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 sorozat esetén ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> +&infin; lenne, feltéve, hogy a sorozatok hányadosa létezik.
+
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
  
Ezt a gondolatot fogjuk használni a végtelen határértékű sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó állítás megfogalmazásánál:
 
:Ha ''A'' és ''B'' valamelyike a +&infin; vagy -&infin; szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor valós szám), akkor az ''A'' * ''B'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''C'' szimbólumként (mely szintén vagy valós szám, vagy a +&infin;, -&infin; egyike), ha ''minden'', az ''A''-hoz tartó (''a''<sub>n</sub>) sorozatra és ''minden'', a ''B''-hez tartó (''b''<sub>n</sub>) sorozatra az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozat ''szükségszerűen'' a ''C''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
 
::''A'' * ''B'' = ''C''
 
:definíció jó.
 
Például a (+&infin;) + (+&infin;) művelet feltétlenül értelmezett és értéke a +&infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a +&infin;-hez tartó sorozat összege is a +&infin;-hez tart. Ellenben például a 0<math>\cdot</math>(+&infin;) művelet nem értelmezhető, mert van két sorozatpár, mely ilyen alakú, de a szorzatuk máshoz tart: (1/n) <math>\cdot</math> n <math>\to</math> 1, de (1/n) <math>\cdot</math> n<sup>2</sup> <math>\to</math> +&infin;.
 
  
'''Definíció''' – ''Végtelen értékek és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a +&infin;, -&infin; szimbólumokra vonatkozóan, az alábbiakban ''r'' tetszőleges valós szám, ''p'' tetszőleges ''pozitív'' szám:
+
'''Pontbeli nemfolytonosság jellemzése.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
# <math>(\pm\infty)+(\pm\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)+r=\pm\infty </math>,  
+
:létezik olyan <math>(x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>x_n\to u</math>, de <math>f(x_n)\not\to f(u)</math>.
# <math>(\pm\infty)-(\mp\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)-r=\pm\infty,  \quad\quad r-(\pm\infty)=\mp\infty</math>,
+
# <math>(\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=+\infty, \quad\quad (+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\pm p)=+\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\mp p)=-\infty</math>,
+
# <math>\frac{r}{\pm \infty}=0 \quad\quad \frac{\pm \infty}{\pm p}=+\infty, \quad\quad \frac{\pm \infty}{\mp p}=-\infty</math>,
+
és a szorzás és az összeadás kommutatív.  
+
  
 +
'''Példa.'''
 +
:<math>\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
 +
+1,&\mbox{ ha} & x>0 \\
 +
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
 +
-1,&\mbox{ ha} & x<0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Nem folytonos a 0-ban.
  
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
+
Hiszen, ha <math>x_n</math> a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor <math>f(x_n)</math>&equiv;+1, miközben f(0)=0&ne;+1.
# <math>(\pm\infty)-(\pm\infty)</math>,
+
# <math>0\cdot(\pm\infty), \quad\quad (\pm\infty)\cdot 0</math>,  
+
# <math>\frac{\pm\infty}{\pm \infty}, \quad\quad \frac{\pm\infty}{\mp \infty}, \quad\quad \left(\;\frac{r}{0}\;\right)</math>.
+
  
 +
'''Példa.'''
 +
:<math>f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
 +
\sin\left(\frac{1}{x}\right),&\mbox{ ha} & x\ne 0 \\
 +
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
nem folytonos a 0-ban.
  
Továbbá értelmezhetjük a 0+ és 0- értékeket és a velük való műveletvégzést úgy, hogy
+
Hiszen, ha
''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (''a''<sub>n</sub>) sorozat egy indextől kezdve pozitív értékeket vesz fel és határértéke a 0, valamint a ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (''a''<sub>n</sub>) sorozat egy indextől kezdve negatív értékeket vesz fel és határértéke a 0. Ekkor minden művelet azt, ami a 0-ra vonatkozik ugyanaz, valamint értelmezhető az alábbi művelet: 
+
:<math>x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,</math>
:<math>\frac{p}{0\pm}=\pm\infty, \quad\quad \frac{-p}{0\pm}=\mp\infty,</math>.
+
akkor <math>x_n\to 0</math> a pozitívok felől, de
de 0/0+ és 0/0- természetesen itt sincs.
+
:<math>f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)</math>
 +
''Megjegyezzük,'' hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)&ne;+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/&pi;n) sorozat ellenpélda (mert ekkor <math>f(x_n)\to 0</math>).
  
'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek, a fenti definíciók jók'' – Ha az (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) sorozatoknak létezik határértéke, az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozat létezik a * alapművelettel és a lim(''a''<sub>n</sub>) * lim(''b''<sub>n</sub>) alapművelet elvégezhető, akkor az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozatnak is van határértéke és ez:
+
==Folytonosság és műveletek==
:<math> \lim(a_n\,\mbox{*}\, b_n)=\lim(a_n)\,\mbox{*}\, \lim(b_n) \,</math>
+
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, a műveletsorozatok határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
+
  
 +
===Folytonosság és alapműveletek===
  
A tétel minden nehézség nélkül bizonyítható, de minden részletre kiterjedő bizonyítása rendkívül hosszadalmas és triviális lépések egymásutánjából áll. Ellenben az olvasó feladata lehet, hogy az összes határozatlan esetre találjon az értelmezhetetlenséget igazoló példát.
+
'''FIA.''' A folytonosság invariáns az alapműveletekre.
+
'''1. feladat.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
+
: <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math>
+
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)''
+
  
:<math>
+
Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.
\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }
+
</math>
+
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat ''n''<sub>''k''</sub> = ''k''<sup>2</sup> indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
+
:<math>
+
1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1
+
</math>
+
Tehát a sorozat az 1-hez tart.
+
  
A másik sorozat esetén az átalakítás:
+
===Folytonosság és függvényműveletek===
:<math>
+
 
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
+
A függvényműveletek közül a legfontosabb, a '''függvénykompozíció''':
 +
:<math>\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}</math>
 +
:<math>f\circ g:x\mapsto f(g(x))</math>
 +
 
 +
Legyen f,g: '''R''' <math>\to</math> '''R''' ''u'' &isin; Dom(f<math>\circ</math>g). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor f<math>\circ</math>g folytonos ''u''-ban.
 +
 
 +
A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.
 +
 
 +
Injektív egy f függvény, ha <math> f(x_1)=f(x_2)</math>-ből <math>x_1=x_2</math> következik az f értelmezési tartományában lévő ''minden'' <math>x_1</math> és <math>x_2</math>-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:
 +
:<math>\begin{matrix}
 +
2^{x+8}=2^{x^2+5}\\
 +
\Downarrow\\
 +
x+8=x^2+5
 +
\end{matrix}
 
</math>
 
</math>
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb  konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ''&epsilon;'' = (e–2)-höz) létezik ''N'', hogy minden ''n'' > ''N''-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
+
vagy
:<math>
+
:<math>\begin{matrix}
+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
+
\sqrt{x+8}=\sqrt{x^2+5}\\
 +
\Downarrow\\
 +
x+8=x^2+5
 +
\end{matrix}  
 
</math>
 
</math>
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +&infin;-hez tart.
 
  
 +
Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:
  
'''2. feladat.''' Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?
+
:<math>\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Ran}(f)\,</math>
: <math>\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}</math>
+
:<math>f^{-1}(y)=x,\quad f(x)=y\,</math>
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)''
+
  
:<math>
+
Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.
\left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{  \cfrac{n^2-7}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2} }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to +\infty
+
 
 +
'''Állítás.''' Ha f: <math>I</math> <math>\to</math> '''R''' szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.
 +
 
 +
''Ugyanis,'' Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f<sup>-1</sup> balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)&cap;(-&infin;,v]-ben olyan (y<sub>n</sub>) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f<sup>-1</sup>(y<sub>n</sub>)=x<sub>n</sub> nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (x<sub>n</sub>) is (-&infin;,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(y<sub>n</sub>) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (x<sub>n</sub>)-nek a B--W-tétel miatt van
 +
:<math>x_{n_k}\to \liminf(x_n)< u</math>
 +
konvergens részsorozata (ha liminf(x<sub>n</sub>) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(x<sub>n</sub>) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.
 +
 
 +
'''Példa.''' Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
 +
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 +
-x^2-1, & \mathrm{ha} & x<0\\
 +
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
 +
x^2+1, & \mathrm{ha} & x>0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
 
 +
 
 +
''Megoldás.'' Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
 +
:<math>\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)</math>
 +
:<math>f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
 +
-\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} &  y<-1\\
 +
0, & \mathrm{ha} & y= 0\\
 +
\sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} &  y>1
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
 +
 
 +
==Bolzano-tétel==
 +
 
 +
'''Bolzano-tétel''' Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos  függvénynek van zérushelye.
 +
 
 +
A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy  folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha ''Bolzano--Darboux-tételnek'' is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy ''Darboux-tulajdonság''.
 +
 
 +
'''Példa.''' Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton.
 +
 
 +
''Ugyanis,'' feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik <math>x_1 < x_2 < x_3</math> az I-ben, hogy <math>f(x_1)<f(x_3)<f(x_2)</math>. De ekkor az <math>f(x_3)</math> &isin;<math> [f(x_1),f(x_2)]</math> miatt létezik ''u'' &isin; <math> [x_1,x_2]</math>, hogy <math>f(u)=f(x_3)</math>, ami miatt f rögtön nem injektív.
 +
 
 +
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.
 +
 
 +
'''Példa.''' Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] <math>\to</math> [0,1] folytonos, akkor van olyan ''u'' &isin; [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja).
 +
 
 +
''Ugyanis,'' transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és
 +
:<math>f(x)=x\quad\Leftrightarrow\quad g(x)=0\,</math>
 +
de
 +
:<math>g(0)=f(0)-0\geq 0</math>
 +
:<math>g(1)=f(1)-1\leq 1-1=0</math>
 +
Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek.
 +
 
 +
==Weierstrass-tétel==
 +
 
 +
'''Weierstrass-tétel''' Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.
 +
 
 +
'''Példa.''' Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye.
 +
 
 +
 
 +
 +
  
</math>
 
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
 
  
 
[[Kategória:Matematika A1]]
 
[[Kategória:Matematika A1]]

A lap jelenlegi, 2009. október 27., 07:01-kori változata

<Matematika A1a 2008


Tartalomjegyzék

Pontbeli folytonosság

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)

Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Példa. x \mapsto \sqrt{x} folytonos.

Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor

|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=\frac{|x-u|}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\leq \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.

Ha u=0, akkor


\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.

Példa. abs: x \mapsto |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:

\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,

Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:

||x|-|u||\leq |x-u|\,

mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:

|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,

azaz

|x|-|u|\leq|x-u|\,

illetve

|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,

azaz

|u|-|x|\leq|x-u|\,

Tehát

||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,

Ezért ha δ:=ε, akkor:

|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,

Heine-féle jellemzés. Az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)

Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:


Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R \supset\!\to R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

létezik olyan (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár x_n\to u, de f(x_n)\not\to f(u).

Példa.

\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
+1,&\mbox{ ha} & x>0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
-1,&\mbox{ ha} & x<0 
\end{matrix}\right.

Nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.

Példa.

f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
\sin\left(\frac{1}{x}\right),&\mbox{ ha} & x\ne 0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
\end{matrix}\right.

nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha

x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,

akkor x_n\to 0 a pozitívok felől, de

f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)

Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor f(x_n)\to 0).

Folytonosság és műveletek

Folytonosság és alapműveletek

FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.

Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.

Folytonosság és függvényműveletek

A függvényműveletek közül a legfontosabb, a függvénykompozíció:

\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}
f\circ g:x\mapsto f(g(x))

Legyen f,g: R \to R u ∈ Dom(f\circg). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor f\circg folytonos u-ban.

A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.

Injektív egy f függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:

\begin{matrix}
2^{x+8}=2^{x^2+5}\\
\Downarrow\\
x+8=x^2+5
\end{matrix}

vagy

\begin{matrix}
\sqrt{x+8}=\sqrt{x^2+5}\\
\Downarrow\\
x+8=x^2+5
\end{matrix}

Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:

\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Ran}(f)\,
f^{-1}(y)=x,\quad f(x)=y\,

Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.

Állítás. Ha f: I \to R szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.

Ugyanis, Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f-1 balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-∞,v]-ben olyan (yn) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f-1(yn)=xn nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (xn) is (-∞,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(yn) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (xn)-nek a B--W-tétel miatt van

x_{n_k}\to \liminf(x_n)< u

konvergens részsorozata (ha liminf(xn) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(xn) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.

Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.


Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:

\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)
f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
-\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} &  y<-1\\
0, & \mathrm{ha} & y= 0\\
\sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} &  y>1
\end{matrix}\right.

Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.

Bolzano-tétel

Bolzano-tétel Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye.

A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha Bolzano--Darboux-tételnek is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy Darboux-tulajdonság.

Példa. Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton.

Ugyanis, feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik x1 < x2 < x3 az I-ben, hogy f(x1) < f(x3) < f(x2). De ekkor az f(x3)[f(x1),f(x2)] miatt létezik u[x1,x2], hogy f(u) = f(x3), ami miatt f rögtön nem injektív.

A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.

Példa. Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] \to [0,1] folytonos, akkor van olyan u ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja).

Ugyanis, transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és

f(x)=x\quad\Leftrightarrow\quad g(x)=0\,

de

g(0)=f(0)-0\geq 0
g(1)=f(1)-1\leq 1-1=0

Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek.

Weierstrass-tétel

Weierstrass-tétel Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.

Példa. Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye.

Személyes eszközök