Matematika A1a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Határozatlan esetek)
(Folytonosság és függvényműveletek)
 
(egy szerkesztő 13 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
  
==Végtelen határérték==
 
  
Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.
+
==Pontbeli folytonosság==
  
'''Definíció.''' Tetszőleges &epsilon;>0 számra az ( 1/&epsilon; , +&infin; ) nyílt intervallumokat a +&infin;  &epsilon; sugarú kipontozott környezetének tekintjük és B<sub>&epsilon;</sub>(+&infin;)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges &epsilon;>0 számra az ( -&infin; ,  -1/&epsilon;) nyílt intervallum a -&infin; elem &epsilon; sugarú kipontozott környezetének tekintendő és B<sub>&epsilon;</sub>(-&infin;)-vel jelöljük.
+
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
 +
:<math>(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)</math>
 +
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
  
A valós számok halmazát az -&infin; +&infin; "ideális" elemekkel kibővítve
+
'''Példa.''' ''x'' <math>\mapsto</math> <math>\sqrt{x}</math> folytonos.
:<math>\overline{\mathbf{R}}\, </math>  
+
jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:
+
  
'''Definíció.''' Legyen ''A'' &isin; '''R''' U {+&infin;,-&infin;} és (''a''<sub>n</sub>) egy '''R'''-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az ''A'' határértéke az (''a''<sub>n</sub>)-nek (ekkor ''A'' = +&infin; vagy -&infin; esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha 
+
Legyen ''u'' > 0 és &epsilon; > 0. Legyen egyelőre &delta; tetszőlges. Ha ''x'' > 0 olyan, hogy |''x'' - ''u''| < &delta;, akkor
:tetszőleges &epsilon;>0 számra az létezik ''N'' természetes szám, hogy minden ''N''-nél nagyobb ''n'' természetes számra
+
:<math>|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=\frac{|x-u|}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\leq \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\varepsilon\,</math>
::<math>a_n\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(A)</math>
+
tehát az &epsilon;-hoz a &delta;=&epsilon;/(\|u)-t kell választanunk.
  
Ekkor  ''A'' az egyetlen ilyen és ezt lim(''a''<sub>n</sub>)-nel jelöljük.
+
Ha u=0, akkor
 +
:<math>
 +
\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon\,</math>
 +
tehát az &epsilon;-hoz a &delta;=&epsilon;<sup>2</sup>-t kell választanunk.
  
===Határozatlan esetek===
+
'''Példa.''' abs: x <math>\mapsto</math> |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Konvergens sorozatok esetén láttuk, hogy a határértékképzés felcserélhető a sorozatokkal végzett műveletek elvégzésére, azaz ha * egy alapművelet és
+
:<math>\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,</math>
# ''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''a'' &isin; '''R''' és ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''b'' &isin; '''R''',
+
Tetszőleges ''u'' pontra igaz a következő becslés:
# (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) értelmezett és
+
:<math>||x|-|u||\leq |x-u|\,</math>
# ''a'' * ''b'' is értelmezett,
+
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
akkor  ''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''a'' * ''b''.
+
:<math>|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>|x|-|u|\leq|x-u|\,</math>
 +
illetve
 +
:<math>|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>|u|-|x|\leq|x-u|\,</math>
 +
Tehát
 +
:<math>||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,</math>
 +
Ezért ha &delta;:=&epsilon;, akkor:
 +
:<math>|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,</math>
  
Az alapműveletek között csak a nullával való osztás nincs értelmezve. Ez az előzőek fényében azt jelenti, hogy például a fenti tétel nem alkalmazható az alábbi példára:
+
'''Heine-féle jellemzés.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
# ''a''<sub>n</sub> <math>\equiv</math> 1 <math>\to</math> 1 és ''b''<sub>n</sub> = 1/n <math>\to</math> 0,
+
:<math>(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)</math>
# ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub> <math>\equiv</math> 1/(1/n) értelmezett, de
+
# 1/0 nem értelmezett
+
és nem is konvergens a hányadossorozat, bár a határértéke a plusz végtelen.
+
  
Nem mondhatjuk azonban, hogy az 1/0 alakú határértéket mutató sorozatok határértéke mindig a +&infin;, hiszen az 1/(-1/n) sorozat ugyanilyen módon keletkezett, de a -&infin;-be tart. Ezt csak abban az esetben mondhatnánk, ha minden ''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> 1, és ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 sorozat esetén ''a''<sub>n</sub>/''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> +&infin; lenne, feltéve, hogy a sorozatok hányadosa létezik.
+
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
  
Ezt a gondolatot fogjuk használni a végtelen határértékű sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó állítás megfogalmazásánál:
 
:Ha ''A'' és ''B'' valamelyike a +&infin; vagy -&infin; szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor valós szám), akkor az ''A'' * ''B'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''C'' szimbólumként (mely szintén vagy valós szám, vagy a +&infin;, -&infin; egyike), ha ''minden'', az ''A''-hoz tartó (''a''<sub>n</sub>) sorozatra és ''minden'', a ''B''-hez tartó (''b''<sub>n</sub>) sorozatra az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozat ''szükségszerűen'' a ''C''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
 
::''A'' * ''B'' = ''C''
 
:definíció jó.
 
Például a (+&infin;) + (+&infin;) művelet feltétlenül értelmezett és értéke a +&infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a +&infin;-hez tartó sorozat összege is a +&infin;-hez tart. Ellenben például a 0<math>\cdot</math>(+&infin;) művelet nem értelmezhető, mert van két sorozatpár, mely ilyen alakú, de a szorzatuk máshoz tart: (1/n) <math>\cdot</math> n <math>\to</math> 1, de (1/n) <math>\cdot</math> n<sup>2</sup> <math>\to</math> +&infin;.
 
  
'''Definíció''' – ''Végtelen értékek és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a +&infin;, -&infin; szimbólumokra vonatkozóan, az alábbiakban ''r'' tetszőleges valós szám, ''p'' tetszőleges ''pozitív'' szám:
+
'''Pontbeli nemfolytonosság jellemzése.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
# <math>(\pm\infty)+(\pm\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)+r=\pm\infty </math>,  
+
:létezik olyan <math>(x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>x_n\to u</math>, de <math>f(x_n)\not\to f(u)</math>.
# <math>(\pm\infty)-(\mp\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)-r=\pm\infty,  \quad\quad r-(\pm\infty)=\mp\infty</math>,
+
# <math>(\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=+\infty, \quad\quad (+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\pm p)=+\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\mp p)=-\infty</math>,
+
# <math>\frac{r}{\pm \infty}=0 \quad\quad \frac{\pm \infty}{\pm p}=+\infty, \quad\quad \frac{\pm \infty}{\mp p}=-\infty</math>,
+
és a szorzás és az összeadás kommutatív.  
+
  
 +
'''Példa.'''
 +
:<math>\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
 +
+1,&\mbox{ ha} & x>0 \\
 +
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
 +
-1,&\mbox{ ha} & x<0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Nem folytonos a 0-ban.
  
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
+
Hiszen, ha <math>x_n</math> a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor <math>f(x_n)</math>&equiv;+1, miközben f(0)=0&ne;+1.
# <math>(\pm\infty)-(\pm\infty)</math>,
+
# <math>0\cdot(\pm\infty), \quad\quad (\pm\infty)\cdot 0</math>,  
+
# <math>\frac{\pm\infty}{\pm \infty}, \quad\quad \frac{\pm\infty}{\mp \infty}, \quad\quad \left(\;\frac{r}{0}\;\right)</math>.
+
  
 +
'''Példa.'''
 +
:<math>f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
 +
\sin\left(\frac{1}{x}\right),&\mbox{ ha} & x\ne 0 \\
 +
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
nem folytonos a 0-ban.
  
Továbbá értelmezhetjük a 0+ és 0- értékeket és a velük való műveletvégzést úgy, hogy
+
Hiszen, ha
''a''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (''a''<sub>n</sub>) sorozat egy indextől kezdve pozitív értékeket vesz fel és határértéke a 0, valamint a ''b''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (''a''<sub>n</sub>) sorozat egy indextől kezdve negatív értékeket vesz fel és határértéke a 0. Ekkor minden művelet azt, ami a 0-ra vonatkozik ugyanaz, valamint értelmezhető az alábbi művelet: 
+
:<math>x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,</math>
:<math>\frac{p}{0\pm}=\pm\infty, \quad\quad \frac{-p}{0\pm}=\mp\infty,</math>.
+
akkor <math>x_n\to 0</math> a pozitívok felől, de
de 0/0+ és 0/0- természetesen itt sincs.
+
:<math>f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)</math>
 +
''Megjegyezzük,'' hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)&ne;+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/&pi;n) sorozat ellenpélda (mert ekkor <math>f(x_n)\to 0</math>).
  
'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek, a fenti definíciók jók'' – Ha az (''a''<sub>n</sub>) és (''b''<sub>n</sub>) sorozatoknak létezik határértéke, az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozat létezik a * alapművelettel és a lim(''a''<sub>n</sub>) * lim(''b''<sub>n</sub>) alapművelet elvégezhető, akkor az (''a''<sub>n</sub> * ''b''<sub>n</sub>) sorozatnak is van határértéke és ez:
+
==Folytonosság és műveletek==
:<math> \lim(a_n\,\mbox{*}\, b_n)=\lim(a_n)\,\mbox{*}\, \lim(b_n) \,</math>
+
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, a műveletsorozatok határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
+
  
A hatványozással kapcsoltban is vannak határozatlan esetek, ilyen az
+
===Folytonosság és alapműveletek===
:<math>1^{\infty},\quad\quad 0^0,\quad\quad \infty^0</math>
+
alakú határértékek. Az elsőre példa az Euler-féle határérték, a harmadikra a pozitív szám n-edik gyökökeiből álló sorozat határértéke.
+
  
'''1. feladat.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
+
'''FIA.''' A folytonosság invariáns az alapműveletekre.
: <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math>
+
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)''
+
  
:<math>
+
Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.
\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }
+
</math>
+
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat ''n''<sub>''k''</sub> = ''k''<sup>2</sup> indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
+
:<math>
+
1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1
+
</math>
+
Tehát a sorozat az 1-hez tart.
+
  
A másik sorozat esetén az átalakítás:
+
===Folytonosság és függvényműveletek===
:<math>
+
 
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
+
A függvényműveletek közül a legfontosabb, a '''függvénykompozíció''':
 +
:<math>\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}</math>
 +
:<math>f\circ g:x\mapsto f(g(x))</math>
 +
 
 +
Legyen f,g: '''R''' <math>\to</math> '''R''' ''u'' &isin; Dom(f<math>\circ</math>g). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor f<math>\circ</math>g folytonos ''u''-ban.
 +
 
 +
A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.
 +
 
 +
Injektív egy f függvény, ha <math> f(x_1)=f(x_2)</math>-ből <math>x_1=x_2</math> következik az f értelmezési tartományában lévő ''minden'' <math>x_1</math> és <math>x_2</math>-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:
 +
:<math>\begin{matrix}
 +
2^{x+8}=2^{x^2+5}\\
 +
\Downarrow\\
 +
x+8=x^2+5
 +
\end{matrix}
 
</math>
 
</math>
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb  konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ''&epsilon;'' = (e–2)-höz) létezik ''N'', hogy minden ''n'' > ''N''-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
+
vagy
:<math>
+
:<math>\begin{matrix}
+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n
+
\sqrt{x+8}=\sqrt{x^2+5}\\
 +
\Downarrow\\
 +
x+8=x^2+5
 +
\end{matrix}  
 
</math>
 
</math>
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +&infin;-hez tart.
 
  
 +
Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:
  
'''2. feladat.''' Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?
+
:<math>\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Ran}(f)\,</math>
: <math>\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}</math>
+
:<math>f^{-1}(y)=x,\quad f(x)=y\,</math>
''(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)''
+
  
:<math>
+
Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.
\left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{  \cfrac{n^2-7}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2} }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to +\infty
+
 
 +
'''Állítás.''' Ha f: <math>I</math> <math>\to</math> '''R''' szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.
 +
 
 +
''Ugyanis,'' Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f<sup>-1</sup> balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)&cap;(-&infin;,v]-ben olyan (y<sub>n</sub>) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f<sup>-1</sup>(y<sub>n</sub>)=x<sub>n</sub> nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (x<sub>n</sub>) is (-&infin;,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(y<sub>n</sub>) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (x<sub>n</sub>)-nek a B--W-tétel miatt van
 +
:<math>x_{n_k}\to \liminf(x_n)< u</math>
 +
konvergens részsorozata (ha liminf(x<sub>n</sub>) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(x<sub>n</sub>) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.
 +
 
 +
'''Példa.''' Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
 +
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 +
-x^2-1, & \mathrm{ha} & x<0\\
 +
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
 +
x^2+1, & \mathrm{ha} & x>0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
 
 +
 
 +
''Megoldás.'' Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
 +
:<math>\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)</math>
 +
:<math>f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
 +
-\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} &  y<-1\\
 +
0, & \mathrm{ha} & y= 0\\
 +
\sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} &  y>1
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
 +
 
 +
==Bolzano-tétel==
 +
 
 +
'''Bolzano-tétel''' Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos  függvénynek van zérushelye.
 +
 
 +
A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy  folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha ''Bolzano--Darboux-tételnek'' is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy ''Darboux-tulajdonság''.
 +
 
 +
'''Példa.''' Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton.
 +
 
 +
''Ugyanis,'' feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik <math>x_1 < x_2 < x_3</math> az I-ben, hogy <math>f(x_1)<f(x_3)<f(x_2)</math>. De ekkor az <math>f(x_3)</math> &isin;<math> [f(x_1),f(x_2)]</math> miatt létezik ''u'' &isin; <math> [x_1,x_2]</math>, hogy <math>f(u)=f(x_3)</math>, ami miatt f rögtön nem injektív.
 +
 
 +
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.
 +
 
 +
'''Példa.''' Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] <math>\to</math> [0,1] folytonos, akkor van olyan ''u'' &isin; [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja).
 +
 
 +
''Ugyanis,'' transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és
 +
:<math>f(x)=x\quad\Leftrightarrow\quad g(x)=0\,</math>
 +
de
 +
:<math>g(0)=f(0)-0\geq 0</math>
 +
:<math>g(1)=f(1)-1\leq 1-1=0</math>
 +
Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek.
 +
 
 +
==Weierstrass-tétel==
 +
 
 +
'''Weierstrass-tétel''' Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.
 +
 
 +
'''Példa.''' Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye.
 +
 
 +
 
 +
 +
  
</math>
 
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
 
  
 
[[Kategória:Matematika A1]]
 
[[Kategória:Matematika A1]]

A lap jelenlegi, 2009. október 27., 07:01-kori változata

<Matematika A1a 2008


Tartalomjegyzék

Pontbeli folytonosság

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)

Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Példa. x \mapsto \sqrt{x} folytonos.

Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor

|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=\frac{|x-u|}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\leq \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.

Ha u=0, akkor


\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.

Példa. abs: x \mapsto |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:

\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,

Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:

||x|-|u||\leq |x-u|\,

mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:

|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,

azaz

|x|-|u|\leq|x-u|\,

illetve

|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,

azaz

|u|-|x|\leq|x-u|\,

Tehát

||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,

Ezért ha δ:=ε, akkor:

|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,

Heine-féle jellemzés. Az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)

Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:


Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R \supset\!\to R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

létezik olyan (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár x_n\to u, de f(x_n)\not\to f(u).

Példa.

\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
+1,&\mbox{ ha} & x>0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
-1,&\mbox{ ha} & x<0 
\end{matrix}\right.

Nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.

Példa.

f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
\sin\left(\frac{1}{x}\right),&\mbox{ ha} & x\ne 0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
\end{matrix}\right.

nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha

x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,

akkor x_n\to 0 a pozitívok felől, de

f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)

Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor f(x_n)\to 0).

Folytonosság és műveletek

Folytonosság és alapműveletek

FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.

Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.

Folytonosság és függvényműveletek

A függvényműveletek közül a legfontosabb, a függvénykompozíció:

\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}
f\circ g:x\mapsto f(g(x))

Legyen f,g: R \to R u ∈ Dom(f\circg). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor f\circg folytonos u-ban.

A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.

Injektív egy f függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:

\begin{matrix}
2^{x+8}=2^{x^2+5}\\
\Downarrow\\
x+8=x^2+5
\end{matrix}

vagy

\begin{matrix}
\sqrt{x+8}=\sqrt{x^2+5}\\
\Downarrow\\
x+8=x^2+5
\end{matrix}

Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:

\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Ran}(f)\,
f^{-1}(y)=x,\quad f(x)=y\,

Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.

Állítás. Ha f: I \to R szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.

Ugyanis, Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f-1 balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-∞,v]-ben olyan (yn) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f-1(yn)=xn nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (xn) is (-∞,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(yn) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (xn)-nek a B--W-tétel miatt van

x_{n_k}\to \liminf(x_n)< u

konvergens részsorozata (ha liminf(xn) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(xn) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.

Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.


Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:

\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)
f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
-\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} &  y<-1\\
0, & \mathrm{ha} & y= 0\\
\sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} &  y>1
\end{matrix}\right.

Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.

Bolzano-tétel

Bolzano-tétel Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye.

A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha Bolzano--Darboux-tételnek is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy Darboux-tulajdonság.

Példa. Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton.

Ugyanis, feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik x1 < x2 < x3 az I-ben, hogy f(x1) < f(x3) < f(x2). De ekkor az f(x3)[f(x1),f(x2)] miatt létezik u[x1,x2], hogy f(u) = f(x3), ami miatt f rögtön nem injektív.

A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.

Példa. Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] \to [0,1] folytonos, akkor van olyan u ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja).

Ugyanis, transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és

f(x)=x\quad\Leftrightarrow\quad g(x)=0\,

de

g(0)=f(0)-0\geq 0
g(1)=f(1)-1\leq 1-1=0

Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek.

Weierstrass-tétel

Weierstrass-tétel Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.

Példa. Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye.

Személyes eszközök