Matematika A1a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Folytonosság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság és függvényműveletek) |
||
(egy szerkesztő 11 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | <sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | ||
− | |||
− | + | ==Pontbeli folytonosság== | |
− | '''Definíció.''' | + | '''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha |
+ | :<math>(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)</math> | ||
+ | Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. | ||
− | + | '''Példa.''' ''x'' <math>\mapsto</math> <math>\sqrt{x}</math> folytonos. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Legyen ''u'' > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha ''x'' > 0 olyan, hogy |''x'' - ''u''| < δ, akkor | |
− | + | :<math>|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=\frac{|x-u|}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\leq \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\varepsilon\,</math> | |
− | + | tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk. | |
− | + | Ha u=0, akkor | |
+ | :<math> | ||
+ | \sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon\,</math> | ||
+ | tehát az ε-hoz a δ=ε<sup>2</sup>-t kell választanunk. | ||
− | + | '''Példa.''' abs: x <math>\mapsto</math> |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük: | |
− | + | :<math>\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,</math> | |
− | + | Tetszőleges ''u'' pontra igaz a következő becslés: | |
− | + | :<math>||x|-|u||\leq |x-u|\,</math> | |
− | + | mert a háromszög egyenlőtlenség miatt: | |
− | + | :<math>|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,</math> | |
+ | azaz | ||
+ | :<math>|x|-|u|\leq|x-u|\,</math> | ||
+ | illetve | ||
+ | :<math>|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>|u|-|x|\leq|x-u|\,</math> | ||
+ | Tehát | ||
+ | :<math>||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,</math> | ||
+ | Ezért ha δ:=ε, akkor: | ||
+ | :<math>|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,</math> | ||
− | Az | + | '''Heine-féle jellemzés.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha |
− | + | :<math>(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ''' | + | '''Pontbeli nemfolytonosság jellemzése.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha |
− | + | :létezik olyan <math>(x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>x_n\to u</math>, de <math>f(x_n)\not\to f(u)</math>. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix} | ||
+ | +1,&\mbox{ ha} & x>0 \\ | ||
+ | 0,&\mbox{ ha} & x=0 \\ | ||
+ | -1,&\mbox{ ha} & x<0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Nem folytonos a 0-ban. | ||
− | + | Hiszen, ha <math>x_n</math> a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor <math>f(x_n)</math>≡+1, miközben f(0)=0≠+1. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix} | ||
+ | \sin\left(\frac{1}{x}\right),&\mbox{ ha} & x\ne 0 \\ | ||
+ | 0,&\mbox{ ha} & x=0 \\ | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | nem folytonos a 0-ban. | ||
− | + | Hiszen, ha | |
− | + | :<math>x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,</math> | |
− | :<math>\frac{ | + | akkor <math>x_n\to 0</math> a pozitívok felől, de |
− | + | :<math>f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)</math> | |
+ | ''Megjegyezzük,'' hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor <math>f(x_n)\to 0</math>). | ||
− | + | ==Folytonosság és műveletek== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ===Folytonosság és alapműveletek=== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | ''' | + | '''FIA.''' A folytonosság invariáns az alapműveletekre. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | A | + | ===Folytonosság és függvényműveletek=== |
− | :<math> | + | |
− | \ | + | A függvényműveletek közül a legfontosabb, a '''függvénykompozíció''': |
+ | :<math>\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}</math> | ||
+ | :<math>f\circ g:x\mapsto f(g(x))</math> | ||
+ | |||
+ | Legyen f,g: '''R''' <math>\to</math> '''R''' ''u'' ∈ Dom(f<math>\circ</math>g). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor f<math>\circ</math>g folytonos ''u''-ban. | ||
+ | |||
+ | A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés. | ||
+ | |||
+ | Injektív egy f függvény, ha <math> f(x_1)=f(x_2)</math>-ből <math>x_1=x_2</math> következik az f értelmezési tartományában lévő ''minden'' <math>x_1</math> és <math>x_2</math>-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk: | ||
+ | :<math>\begin{matrix} | ||
+ | 2^{x+8}=2^{x^2+5}\\ | ||
+ | \Downarrow\\ | ||
+ | x+8=x^2+5 | ||
+ | \end{matrix} | ||
</math> | </math> | ||
− | + | vagy | |
− | :<math> | + | :<math>\begin{matrix} |
− | +\ | + | \sqrt{x+8}=\sqrt{x^2+5}\\ |
+ | \Downarrow\\ | ||
+ | x+8=x^2+5 | ||
+ | \end{matrix} | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
+ | Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze: | ||
− | + | :<math>\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Ran}(f)\,</math> | |
− | : <math>\ | + | :<math>f^{-1}(y)=x,\quad f(x)=y\,</math> |
− | + | ||
− | :<math> | + | Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz. |
− | \ | + | |
+ | '''Állítás.''' Ha f: <math>I</math> <math>\to</math> '''R''' szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos. | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f<sup>-1</sup> balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-∞,v]-ben olyan (y<sub>n</sub>) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f<sup>-1</sup>(y<sub>n</sub>)=x<sub>n</sub> nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (x<sub>n</sub>) is (-∞,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(y<sub>n</sub>) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (x<sub>n</sub>)-nek a B--W-tétel miatt van | ||
+ | :<math>x_{n_k}\to \liminf(x_n)< u</math> | ||
+ | konvergens részsorozata (ha liminf(x<sub>n</sub>) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(x<sub>n</sub>) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül! | ||
+ | :<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | -x^2-1, & \mathrm{ha} & x<0\\ | ||
+ | 0, & \mathrm{ha} & x= 0\\ | ||
+ | x^2+1, & \mathrm{ha} & x>0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz: | ||
+ | :<math>\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)</math> | ||
+ | :<math>f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | -\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} & y<-1\\ | ||
+ | 0, & \mathrm{ha} & y= 0\\ | ||
+ | \sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} & y>1 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak. | ||
+ | |||
+ | ==Bolzano-tétel== | ||
+ | |||
+ | '''Bolzano-tétel''' Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye. | ||
+ | |||
+ | A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha ''Bolzano--Darboux-tételnek'' is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy ''Darboux-tulajdonság''. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton. | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik <math>x_1 < x_2 < x_3</math> az I-ben, hogy <math>f(x_1)<f(x_3)<f(x_2)</math>. De ekkor az <math>f(x_3)</math> ∈<math> [f(x_1),f(x_2)]</math> miatt létezik ''u'' ∈ <math> [x_1,x_2]</math>, hogy <math>f(u)=f(x_3)</math>, ami miatt f rögtön nem injektív. | ||
+ | |||
+ | A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] <math>\to</math> [0,1] folytonos, akkor van olyan ''u'' ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja). | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és | ||
+ | :<math>f(x)=x\quad\Leftrightarrow\quad g(x)=0\,</math> | ||
+ | de | ||
+ | :<math>g(0)=f(0)-0\geq 0</math> | ||
+ | :<math>g(1)=f(1)-1\leq 1-1=0</math> | ||
+ | Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek. | ||
+ | |||
+ | ==Weierstrass-tétel== | ||
+ | |||
+ | '''Weierstrass-tétel''' Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | |||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2009. október 27., 08:01-kori változata
Tartalomjegyzék |
Pontbeli folytonosság
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Példa. x folytonos.
Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.
Ha u=0, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.
Példa. abs: x |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
azaz
illetve
azaz
Tehát
Ezért ha δ:=ε, akkor:
Heine-féle jellemzés. Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Példa.
Nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.
Példa.
nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha
akkor a pozitívok felől, de
Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor ).
Folytonosság és műveletek
Folytonosság és alapműveletek
FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.
Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.
Folytonosság és függvényműveletek
A függvényműveletek közül a legfontosabb, a függvénykompozíció:
Legyen f,g: R R u ∈ Dom(fg). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor fg folytonos u-ban.
A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.
Injektív egy f függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:
vagy
Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:
Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.
Állítás. Ha f: I R szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.
Ugyanis, Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f-1 balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-∞,v]-ben olyan (yn) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f-1(yn)=xn nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (xn) is (-∞,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(yn) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (xn)-nek a B--W-tétel miatt van
konvergens részsorozata (ha liminf(xn) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(xn) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.
Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
Bolzano-tétel
Bolzano-tétel Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye.
A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha Bolzano--Darboux-tételnek is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy Darboux-tulajdonság.
Példa. Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton.
Ugyanis, feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik x1 < x2 < x3 az I-ben, hogy f(x1) < f(x3) < f(x2). De ekkor az f(x3) ∈[f(x1),f(x2)] miatt létezik u ∈ [x1,x2], hogy f(u) = f(x3), ami miatt f rögtön nem injektív.
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.
Példa. Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] [0,1] folytonos, akkor van olyan u ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja).
Ugyanis, transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és
de
Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek.
Weierstrass-tétel
Weierstrass-tétel Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.
Példa. Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye.