Matematika A1a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Pontbeli folytonosság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság és függvényműveletek) |
||
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | <sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Pontbeli folytonosság== | ==Pontbeli folytonosság== | ||
163. sor: | 67. sor: | ||
:<math>f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)</math> | :<math>f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)</math> | ||
''Megjegyezzük,'' hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor <math>f(x_n)\to 0</math>). | ''Megjegyezzük,'' hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor <math>f(x_n)\to 0</math>). | ||
+ | |||
+ | ==Folytonosság és műveletek== | ||
+ | |||
+ | ===Folytonosság és alapműveletek=== | ||
'''FIA.''' A folytonosság invariáns az alapműveletekre. | '''FIA.''' A folytonosság invariáns az alapműveletekre. | ||
− | Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. | + | Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni. |
− | ==Folytonosság és | + | ===Folytonosság és függvényműveletek=== |
− | Injektív egy függvény, ha <math> f(x_1)=f(x_2)</math>-ből <math>x_1=x_2</math> következik az f értelmezési tartományában lévő ''minden'' <math>x_1</math> és <math>x_2</math>-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk: | + | A függvényműveletek közül a legfontosabb, a '''függvénykompozíció''': |
+ | :<math>\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}</math> | ||
+ | :<math>f\circ g:x\mapsto f(g(x))</math> | ||
+ | |||
+ | Legyen f,g: '''R''' <math>\to</math> '''R''' ''u'' ∈ Dom(f<math>\circ</math>g). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor f<math>\circ</math>g folytonos ''u''-ban. | ||
+ | |||
+ | A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés. | ||
+ | |||
+ | Injektív egy f függvény, ha <math> f(x_1)=f(x_2)</math>-ből <math>x_1=x_2</math> következik az f értelmezési tartományában lévő ''minden'' <math>x_1</math> és <math>x_2</math>-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk: | ||
:<math>\begin{matrix} | :<math>\begin{matrix} | ||
2^{x+8}=2^{x^2+5}\\ | 2^{x+8}=2^{x^2+5}\\ | ||
184. sor: | 100. sor: | ||
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
− | ''Ugyanis,'' Legyen '' | + | Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze: |
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Ran}(f)\,</math> | ||
+ | :<math>f^{-1}(y)=x,\quad f(x)=y\,</math> | ||
+ | |||
+ | Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz. | ||
+ | |||
+ | '''Állítás.''' Ha f: <math>I</math> <math>\to</math> '''R''' szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos. | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f<sup>-1</sup> balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-∞,v]-ben olyan (y<sub>n</sub>) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f<sup>-1</sup>(y<sub>n</sub>)=x<sub>n</sub> nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (x<sub>n</sub>) is (-∞,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(y<sub>n</sub>) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (x<sub>n</sub>)-nek a B--W-tétel miatt van | ||
+ | :<math>x_{n_k}\to \liminf(x_n)< u</math> | ||
+ | konvergens részsorozata (ha liminf(x<sub>n</sub>) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(x<sub>n</sub>) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül! | ||
+ | :<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | -x^2-1, & \mathrm{ha} & x<0\\ | ||
+ | 0, & \mathrm{ha} & x= 0\\ | ||
+ | x^2+1, & \mathrm{ha} & x>0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz: | ||
+ | :<math>\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)</math> | ||
+ | :<math>f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | -\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} & y<-1\\ | ||
+ | 0, & \mathrm{ha} & y= 0\\ | ||
+ | \sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} & y>1 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak. | ||
+ | |||
+ | ==Bolzano-tétel== | ||
+ | |||
+ | '''Bolzano-tétel''' Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye. | ||
+ | |||
+ | A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha ''Bolzano--Darboux-tételnek'' is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy ''Darboux-tulajdonság''. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton. | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik <math>x_1 < x_2 < x_3</math> az I-ben, hogy <math>f(x_1)<f(x_3)<f(x_2)</math>. De ekkor az <math>f(x_3)</math> ∈<math> [f(x_1),f(x_2)]</math> miatt létezik ''u'' ∈ <math> [x_1,x_2]</math>, hogy <math>f(u)=f(x_3)</math>, ami miatt f rögtön nem injektív. | ||
+ | |||
+ | A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] <math>\to</math> [0,1] folytonos, akkor van olyan ''u'' ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja). | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és | ||
+ | :<math>f(x)=x\quad\Leftrightarrow\quad g(x)=0\,</math> | ||
+ | de | ||
+ | :<math>g(0)=f(0)-0\geq 0</math> | ||
+ | :<math>g(1)=f(1)-1\leq 1-1=0</math> | ||
+ | Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek. | ||
+ | |||
+ | ==Weierstrass-tétel== | ||
+ | |||
+ | '''Weierstrass-tétel''' Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye. | ||
+ | |||
− | + | ||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2009. október 27., 08:01-kori változata
Tartalomjegyzék |
Pontbeli folytonosság
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Példa. x folytonos.
Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.
Ha u=0, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.
Példa. abs: x |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
azaz
illetve
azaz
Tehát
Ezért ha δ:=ε, akkor:
Heine-féle jellemzés. Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Példa.
Nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.
Példa.
nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha
akkor a pozitívok felől, de
Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor ).
Folytonosság és műveletek
Folytonosság és alapműveletek
FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.
Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos. Ehhez csak egyetlen függvény, az identitás folytonosságát kell belátni.
Folytonosság és függvényműveletek
A függvényműveletek közül a legfontosabb, a függvénykompozíció:
Legyen f,g: R R u ∈ Dom(fg). Ha g folytonos u-ban és f folytonos g(u)-ban, akkor fg folytonos u-ban.
A másik az injektív függvények esetén az inverz függvény képzés.
Injektív egy f függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:
vagy
Például szigorúan monoton függvény biztosan injektív. Injektív f inverze:
Később belátjuk, hogy intervallumon értelmezett injektív és folytonos függvény inverze folytonos. Intervallumon szigorú monotonitásból azonban még nem folytonos f esetén is következik az intervallumon folytonos inverz.
Állítás. Ha f: I R szigorúan monoton, akkor az inverze folytonos.
Ugyanis, Legyen f szig. mon. növő és v=f(u)-ban f-1 balról nem folytonos (ha nincs baloladala, akkor jobbról). Ekkor létezik Ran(f)∩(-∞,v]-ben olyan (yn) konvergens sorozat, mely v-hez tart, de f-1(yn)=xn nem tart u-hoz. Az inverz is szigorúan monoton növekvő, így megtartja a rendezés, azaz (xn) is (-∞,u]-ban halad. Korlátos is, mert min(yn) képe a képek egy alsó korlátja is lesz. Emiatt (xn)-nek a B--W-tétel miatt van
konvergens részsorozata (ha liminf(xn) = u-lenne, akkor konvergens lenne!). Eszerint akkor egy liminf(xn) < w < u számra igaz, hogy a (w,u] intervallumban a részsoeozatnak csak véges sok tagja van, ahogy az (f(w),f(u)] intervallumban is csak véges sok képe. De ez ellentmond annak, hogy a részsorozat képe az u-hoz tart.
Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
Bolzano-tétel
Bolzano-tétel Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő folytonos függvénynek van zérushelye.
A Bolzano-tételt olyan alakban is meg lehet fogalmazni, hogy folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket felvesz. Ezt néha Bolzano--Darboux-tételnek is nevezik amiatt, mert a most megfogalmazott tulajdonság az úgy nevezett Darboux-folytonosság vagy Darboux-tulajdonság.
Példa. Igazoljuk, hogy az intervallumon injektív és folytonos függvény szigorúan monoton.
Ugyanis, feltehető, hogy ilyen a helyzet: létezik x1 < x2 < x3 az I-ben, hogy f(x1) < f(x3) < f(x2). De ekkor az f(x3) ∈[f(x1),f(x2)] miatt létezik u ∈ [x1,x2], hogy f(u) = f(x3), ami miatt f rögtön nem injektív.
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.
Példa. Igazoljuk, hogy ha f:[0,1] [0,1] folytonos, akkor van olyan u ∈ [0,1], hogy f(u)=u (azaz van fixpontja).
Ugyanis, transzformáljuk a függvényt: g(x):=f(x)-x. Ekkor g folytonos és
de
Tehát a Bolzano-tétek miatt van zérushelye g-nek, azaz fixpontja f-nek.
Weierstrass-tétel
Weierstrass-tétel Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.
Példa. Mindenhol folytonos függvény két lokális minimumhelye között mindig van egy lokális maximumhelye.