Matematika A1a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | <sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | ||
+ | ==Végtelen határérték== | ||
+ | |||
+ | Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit. | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' Tetszőleges ε>0 számra az ( 1/ε , +∞ ) nyílt intervallumokat a +∞ ε sugarú kipontozott környezetének tekintjük és B<sub>ε</sub>(+∞)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges ε>0 számra az ( -∞ , -1/ε) nyílt intervallum a -∞ elem ε sugarú kipontozott környezetének tekintendő és B<sub>ε</sub>(-∞)-vel jelöljük. | ||
+ | |||
+ | A valós számok halmazát az -∞ +∞ "ideális" elemekkel kibővítve | ||
+ | :<math>\overline{\mathbf{R}}\, </math> | ||
+ | jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában: | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' Legyen ''A'' ∈ '''R''' U {+∞,-∞} és (''a''<sub>n</sub>) egy '''R'''-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az ''A'' határértéke az (''a''<sub>n</sub>)-nek (ekkor ''A'' = +∞ vagy -∞ esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha | ||
+ | :tetszőleges ε>0 számra az létezik ''N'' természetes szám, hogy minden ''N''-nél nagyobb ''n'' természetes számra | ||
+ | ::<math>a_n\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(A)</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor ''A'' az egyetlen ilyen és ezt lim(''a''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. | ||
+ | |||
'''1. feladat.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük? | '''1. feladat.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük? | ||
: <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math> | : <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math> | ||
30. sor: | 46. sor: | ||
:<math> | :<math> | ||
− | \left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{ \cfrac{n^2-7}{n^2} }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2} }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to | + | \left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{ \cfrac{n^2-7}{n^2} }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2} }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to +\infty |
</math> | </math> |
A lap 2008. október 21., 10:47-kori változata
Végtelen határérték
Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.
Definíció. Tetszőleges ε>0 számra az ( 1/ε , +∞ ) nyílt intervallumokat a +∞ ε sugarú kipontozott környezetének tekintjük és Bε(+∞)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges ε>0 számra az ( -∞ , -1/ε) nyílt intervallum a -∞ elem ε sugarú kipontozott környezetének tekintendő és Bε(-∞)-vel jelöljük.
A valós számok halmazát az -∞ +∞ "ideális" elemekkel kibővítve
jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:
Definíció. Legyen A ∈ R U {+∞,-∞} és (an) egy R-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az A határértéke az (an)-nek (ekkor A = +∞ vagy -∞ esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha
- tetszőleges ε>0 számra az létezik N természetes szám, hogy minden N-nél nagyobb n természetes számra
Ekkor A az egyetlen ilyen és ezt lim(an)-nel jelöljük.
1. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
Tehát a sorozat az 1-hez tart.
A másik sorozat esetén az átalakítás:
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.
2. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?
(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.