Matematika A1a 2008/7. gyakorlat

_{<Matematika A1a 2008}

1. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)

$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }$

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat n_k = k² indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:

$1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1$

Tehát a sorozat az 1-hez tart.

A másik sorozat esetén az átalakítás:

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n$

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.

$+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n$

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.

2. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

$\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}$

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)

$\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2} }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to 0$

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.