Matematika A1a 2008/7. gyakorlat

_{<Matematika A1a 2008}

Végtelen határérték

Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.

Definíció. Tetszőleges ε>0 számra az ( 1/ε , +∞ ) nyílt intervallumokat a +∞ ε sugarú kipontozott környezetének tekintjük és B_ε(+∞)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges ε>0 számra az ( -∞ , -1/ε) nyílt intervallum a -∞ elem ε sugarú kipontozott környezetének tekintendő és B_ε(-∞)-vel jelöljük.

A valós számok halmazát az -∞ +∞ "ideális" elemekkel kibővítve

$\overline{\mathbf{R}}\,$

jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:

Definíció. Legyen A ∈ R U {+∞,-∞} és (a_n) egy R-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az A határértéke az (a_n)-nek (ekkor A = +∞ vagy -∞ esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha

tetszőleges ε>0 számra az létezik N természetes szám, hogy minden N-nél nagyobb n természetes számra

$a_n\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(A)$

Ekkor A az egyetlen ilyen és ezt lim(a_n)-nel jelöljük.

1. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)

$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }$

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat n_k = k² indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:

$1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1$

Tehát a sorozat az 1-hez tart.

A másik sorozat esetén az átalakítás:

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n$

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.

$+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n$

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.

2. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

$\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}$

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)

$\left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{ \cfrac{n^2-7}{n^2} }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2} }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to +\infty$

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.