Matematika A1a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. március 24., 12:05-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008

Végtelen határérték

Ehhez először definiálnunk kell a végtelen környezeteit.

Definíció. Tetszőleges ε>0 számra az ( 1/ε , +∞ ) nyílt intervallumokat a +∞ ε sugarú kipontozott környezetének tekintjük és Bε(+∞)-vel jelöljük. Ugyanígy tetszőleges ε>0 számra az ( -∞ , -1/ε) nyílt intervallum a -∞ elem ε sugarú kipontozott környezetének tekintendő és Bε(-∞)-vel jelöljük.

A valós számok halmazát az -∞ +∞ "ideális" elemekkel kibővítve

\overline{\mathbf{R}}\,

jelöli. Ebben értelmes a sorozathatárérték definíciója a következő formában:

Definíció. Legyen AR U {+∞,-∞} és (an) egy R-ben haladó sorozat. Azt mondjuk, hogy az A határértéke az (an)-nek (ekkor A = +∞ vagy -∞ esetén a konvergencia helyett a divergencia szót használjuk), ha

tetszőleges ε>0 számra az létezik N természetes szám, hogy minden N-nél nagyobb n természetes számra
a_n\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(A)

Ekkor A az egyetlen ilyen és ezt lim(an)-nel jelöljük.

Határozatlan esetek

Konvergens sorozatok esetén láttuk, hogy a határértékképzés felcserélhető a sorozatokkal végzett műveletek elvégzésére, azaz ha * egy alapművelet és

  1. an \to aR és bn \to bR,
  2. (an * bn) értelmezett és
  3. a * b is értelmezett,

akkor an * bn \to a * b.

Az alapműveletek között csak a nullával való osztás nincs értelmezve. Ez az előzőek fényében azt jelenti, hogy például a fenti tétel nem alkalmazható az alábbi példára:

  1. an \equiv 1 \to 1 és bn = 1/n \to 0,
  2. an/bn \equiv 1/(1/n) értelmezett, de
  3. 1/0 nem értelmezett

és nem is konvergens a hányadossorozat, bár a határértéke a plusz végtelen.

Nem mondhatjuk azonban, hogy az 1/0 alakú határértéket mutató sorozatok határértéke mindig a +∞, hiszen az 1/(-1/n) sorozat ugyanilyen módon keletkezett, de a -∞-be tart. Ezt csak abban az esetben mondhatnánk, ha minden an \to 1, és bn \to 0 sorozat esetén an/bn \to +∞ lenne, feltéve, hogy a sorozatok hányadosa létezik.

Ezt a gondolatot fogjuk használni a végtelen határértékű sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó állítás megfogalmazásánál:

Ha A és B valamelyike a +∞ vagy -∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor valós szám), akkor az A * B alapműveletet akkor értelmezzük a C szimbólumként (mely szintén vagy valós szám, vagy a +∞, -∞ egyike), ha minden, az A-hoz tartó (an) sorozatra és minden, a B-hez tartó (bn) sorozatra az (an * bn) sorozat szükségszerűen a C-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
A * B = C
definíció jó.

Például a (+∞) + (+∞) művelet feltétlenül értelmezett és értéke a +∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a +∞-hez tartó sorozat összege is a +∞-hez tart. Ellenben például a 0\cdot(+∞) művelet nem értelmezhető, mert van két sorozatpár, mely ilyen alakú, de a szorzatuk máshoz tart: (1/n) \cdot n \to 1, de (1/n) \cdot n2 \to +∞.

DefinícióVégtelen értékek és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a +∞, -∞ szimbólumokra vonatkozóan, az alábbiakban r tetszőleges valós szám, p tetszőleges pozitív szám:

  1. (\pm\infty)+(\pm\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)+r=\pm\infty ,
  2. (\pm\infty)-(\mp\infty)=\pm\infty, \quad\quad(\pm\infty)-r=\pm\infty,  \quad\quad r-(\pm\infty)=\mp\infty,
  3. (\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=+\infty, \quad\quad (+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\pm p)=+\infty, \quad\quad (\pm\infty)\cdot (\mp p)=-\infty,
  4. \frac{r}{\pm \infty}=0 \quad\quad \frac{\pm \infty}{\pm p}=+\infty, \quad\quad \frac{\pm \infty}{\mp p}=-\infty,

és a szorzás és az összeadás kommutatív.


DefinícióHatározatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

  1. (\pm\infty)-(\pm\infty),
  2. 0\cdot(\pm\infty), \quad\quad (\pm\infty)\cdot 0,
  3. \frac{\pm\infty}{\pm \infty}, \quad\quad \frac{\pm\infty}{\mp \infty}, \quad\quad \left(\;\frac{r}{0}\;\right).


Továbbá értelmezhetjük a 0+ és 0- értékeket és a velük való műveletvégzést úgy, hogy an \to 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (an) sorozat egy indextől kezdve pozitív értékeket vesz fel és határértéke a 0, valamint a bn \to 0+ kifejezésen azt értjük, hogy az (an) sorozat egy indextől kezdve negatív értékeket vesz fel és határértéke a 0. Ekkor minden művelet azt, ami a 0-ra vonatkozik ugyanaz, valamint értelmezhető az alábbi művelet:

\frac{p}{0\pm}=\pm\infty, \quad\quad \frac{-p}{0\pm}=\mp\infty,.

de 0/0+ és 0/0- természetesen itt sincs.

TételVégtelen határérték és alapműveletek, a fenti definíciók jók – Ha az (an) és (bn) sorozatoknak létezik határértéke, az (an * bn) sorozat létezik a * alapművelettel és a lim(an) * lim(bn) alapművelet elvégezhető, akkor az (an * bn) sorozatnak is van határértéke és ez:

 \lim(a_n\,\mbox{*}\, b_n)=\lim(a_n)\,\mbox{*}\, \lim(b_n) \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, a műveletsorozatok határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A hatványozással kapcsoltban is vannak határozatlan esetek, ilyen az

1^{\infty},\quad\quad 0^0,\quad\quad \infty^0

alakú határértékek. Az elsőre példa az Euler-féle határérték, a harmadikra a pozitív szám n-edik gyökökeiből álló sorozat határértéke.

1. feladat. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}, \quad\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá őket és használjuk a rendőrelvet illetve a majoráns kritériumot.)


\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:


1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1

Tehát a sorozat az 1-hez tart.

A másik sorozat esetén az átalakítás:


\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.


+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.


2. feladat. Konvergense-e az alábbi sorozat? Ha van, mi a határértéke?

\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}

(Útmutatás: Alakítsuk át nevezetes alakúvá.)


\left(\frac{n^2+2n}{n^2-7}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2+2n}{n^2} }{  \cfrac{n^2-7}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{ \left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}  }{ \left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2} }\to +\infty

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.

Pontbeli folytonosság

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)

Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Példa. x \mapsto \sqrt{x} folytonos.

Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor

|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=\frac{|x-u|}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\leq \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.

Ha u=0, akkor


\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.

Példa. abs: x \mapsto |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:

\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,

Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:

||x|-|u||\leq |x-u|\,

mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:

|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,

azaz

|x|-|u|\leq|x-u|\,

illetve

|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,

azaz

|u|-|x|\leq|x-u|\,

Tehát

||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,

Ezért ha δ:=ε, akkor:

|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,

Heine-féle jellemzés. Az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)

Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:


Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R \supset\!\to R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

létezik olyan (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár x_n\to u, de f(x_n)\not\to f(u).

Példa.

\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
+1,&\mbox{ ha} & x>0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
-1,&\mbox{ ha} & x<0 
\end{matrix}\right.

Nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.

Példa.

f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
\sin\left(\frac{1}{x}\right),&\mbox{ ha} & x\ne 0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
\end{matrix}\right.

nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha

x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,

akkor x_n\to 0 a pozitívok felől, de

f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)

Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor f(x_n)\to 0).

FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.

Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos.

Személyes eszközök