Matematika A1a 2008/7. gyakorlat
Pontbeli folytonosság
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Példa. x folytonos.
Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.
Ha u=0, akkor
tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.
Példa. abs: x |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:
Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:
mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:
azaz
illetve
azaz
Tehát
Ezért ha δ:=ε, akkor:
Heine-féle jellemzés. Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Példa.
Nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.
Példa.
nem folytonos a 0-ban.
Hiszen, ha
akkor a pozitívok felől, de
Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor ).
FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.
Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos.
Folytonosság és elemi függvénytulajdonságok
Injektív egy függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:
vagy
Állítás. Ha f: I R injektív és folytonos, akkor f szigorúan monoton.
Ugyanis, Legyen u ∈ int(I) tegyük föl, hogy f nem szig mon.
A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.