Matematika A1a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. március 25., 07:27-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008


Pontbeli folytonosság

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)

Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Példa. x \mapsto \sqrt{x} folytonos.

Legyen u > 0 és ε > 0. Legyen egyelőre δ tetszőlges. Ha x > 0 olyan, hogy |x - u| < δ, akkor

|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=\frac{|x-u|}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\leq \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε/(\|u)-t kell választanunk.

Ha u=0, akkor


\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon\,

tehát az ε-hoz a δ=ε2-t kell választanunk.

Példa. abs: x \mapsto |x| folytonos. Ezt azzal látjuk be, hogy az abszolútérték következő megadását tekintjük:

\mathrm{abs}(x)=\max\{a,-a\}\,

Tetszőleges u pontra igaz a következő becslés:

||x|-|u||\leq |x-u|\,

mert a háromszög egyenlőtlenség miatt:

|x|=|x-u+u|\leq |x-u|+|u|\,

azaz

|x|-|u|\leq|x-u|\,

illetve

|u|=|-u|=|x-u-x|\leq |x-u|+|x|\,

azaz

|u|-|x|\leq|x-u|\,

Tehát

||x|-|u||=\max\{|u|-|x|,|x|-|u|\}\leq|x-u|\,

Ezért ha δ:=ε, akkor:

|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;||x|-|u||\leq|x-u|<\delta=\varepsilon\,

Heine-féle jellemzés. Az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})(x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)

Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, mellyel a nemfolytonosságot jellemezni tudjuk:


Pontbeli nemfolytonosság jellemzése. Az f: R \supset\!\to R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

létezik olyan (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár x_n\to u, de f(x_n)\not\to f(u).

Példa.

\mathrm{sgn}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
+1,&\mbox{ ha} & x>0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
-1,&\mbox{ ha} & x<0 
\end{matrix}\right.

Nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha xn a pozitívokon keresztül tart a 0-ba, akkor f(xn)≡+1, miközben f(0)=0≠+1.

Példa.

f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\;\left\{\begin{matrix}
\sin\left(\frac{1}{x}\right),&\mbox{ ha} & x\ne 0 \\
0,&\mbox{ ha} & x=0 \\
\end{matrix}\right.

nem folytonos a 0-ban.

Hiszen, ha

x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\,

akkor x_n\to 0 a pozitívok felől, de

f(x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=+1\ne 0=f(0)

Megjegyezzük, hogy akárhogy is definiálnánk f(0)-t, a függvény nem lenne folytonos, mert ha f(0)≠+1, akkor a fenti sorozat ellenpélda, ha f(0)=+1, akkor az (1/πn) sorozat ellenpélda (mert ekkor f(x_n)\to 0).

FIA. A folytonosság invariáns az alapműveletekre.

Emiatt minden polinomfüggvény és racionális törtfüggvény folytonos.

Folytonosság és elemi függvénytulajdonságok

Injektív egy függvény, ha f(x1) = f(x2)-ből x1 = x2 következik az f értelmezési tartományában lévő minden x1 és x2-re. Ezt a tulajdonásgok használtuk, amikor azt írtuk:

\begin{matrix}
2^{x+8}=2^{x^2+5}\\
\Downarrow\\
x+8=x^2+5
\end{matrix}

vagy

\begin{matrix}
\sqrt{x+8}=\sqrt{x^2+5}\\
\Downarrow\\
x+8=x^2+5
\end{matrix}

Állítás. Ha f: I \to R injektív és folytonos, akkor f szigorúan monoton.

Ugyanis, Legyen u ∈ int(I) tegyük föl, hogy f nem szig mon.

A feltételek nem hagyhatók el. Pl. sin periodikus és így nem injektív, bár folytonos. Pl. sgn(x)(|x|+1) szig. mon. nő, de nem folytonos.

Személyes eszközök