Matematika A1a 2008/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | <sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | ||
| + | ==Néhány topologikus fogalom== | ||
| + | azaz minden ''r'' > 0 esetén legyen olyan ''a'' ∈ ''A'', hogy ''a'' ∈ B<sub>r</sub>(''u'')\{u} | ||
| + | ==Függvényhatárérték=== | ||
| + | Legyen ''f'' egy az ''A'' ⊆ '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha | ||
| + | :minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden ''z'' ∈ ''A'' ∩ B<sub>δ</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''z'') ∈ B<sub>ε</sub>(''v'') | ||
| + | ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy | ||
| + | #<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z^2}=+\infty</math> | ||
| + | #<math>\not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}</math> | ||
| + | |||
| + | 1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz: | ||
| + | :<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math> | ||
| + | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy | ||
| + | :<math>|z|<\varepsilon</math> | ||
| + | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |''z''| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség. | ||
| + | |||
| + | 2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz: | ||
| + | :<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math> | ||
| + | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy | ||
| + | :<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math> | ||
| + | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |''z''| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' valós függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u'' és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez: | ||
| + | :<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math> | ||
| + | Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak). | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] | ||
A lap 2008. október 27., 17:09-kori változata
Néhány topologikus fogalom
azaz minden r > 0 esetén legyen olyan a ∈ A, hogy a ∈ Br(u)\{u}
Függvényhatárérték=
Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen 
az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a 
elem határértéke az u-ban, ha
- minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden z ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(z) ∈ Bε(v)
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.
Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
