Matematika A1a 2008/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | <sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | ||
==Néhány topologikus fogalom== | ==Néhány topologikus fogalom== | ||
− | + | Ha ''A'' ⊆ '''R''' valós számhalmaz, akkor az ''u'' ∈ <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math> pontot az ''A'' | |
+ | *'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha minden ''r'' > 0 esetén van olyan ''a'' ∈ ''A'', hogy ''a'' ∈ B<sub>r</sub>(''u'')\{u} nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen) | ||
+ | * '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' ∈ ''A'', de nem torlódási pontja ''A''-nak. | ||
+ | |||
==Függvényhatárérték=== | ==Függvényhatárérték=== | ||
Legyen ''f'' egy az ''A'' ⊆ '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha | Legyen ''f'' egy az ''A'' ⊆ '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha |
A lap 2008. október 27., 16:15-kori változata
Néhány topologikus fogalom
Ha A ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az A
- torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén van olyan a ∈ A, hogy a ∈ Br(u)\{u} nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ A, de nem torlódási pontja A-nak.
Függvényhatárérték=
Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a elem határértéke az u-ban, ha
- minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden z ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(z) ∈ Bε(v)
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.
Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).