Matematika A1a 2008/8. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Néhány topologikus fogalom)
1. sor: 1. sor:
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
 
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
 
==Néhány topologikus fogalom==
 
==Néhány topologikus fogalom==
azaz minden ''r'' > 0 esetén legyen olyan ''a'' &isin; ''A'', hogy ''a'' &isin; B<sub>r</sub>(''u'')\{u}
+
Ha ''A'' &sube; '''R''' valós számhalmaz, akkor az ''u'' &isin; <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math> pontot az ''A''
 +
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha minden ''r'' > 0 esetén van olyan ''a'' &isin; ''A'', hogy ''a'' &isin; B<sub>r</sub>(''u'')\{u} nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
 +
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' &isin; ''A'', de nem torlódási pontja ''A''-nak.
 +
 
 
==Függvényhatárérték===
 
==Függvényhatárérték===
 
Legyen ''f'' egy az ''A'' &sube; '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha  
 
Legyen ''f'' egy az ''A'' &sube; '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha  

A lap 2008. október 27., 16:15-kori változata

<Matematika A1a 2008

Néhány topologikus fogalom

Ha AR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az A

  • torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén van olyan aA, hogy a ∈ Br(u)\{u} nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
  • izolált pontjának nevezzük, ha uA, de nem torlódási pontja A-nak.

Függvényhatárérték=

Legyen f egy az AR halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a \scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}} elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden zA ∩ Bδ(u)\{u}-re f(z) ∈ Bε(v)

ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.


Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z^2}=+\infty
  2. \not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|<\varepsilon

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|>\frac{1}{\varepsilon}

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.


TételVégtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

 \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

Személyes eszközök