Matematika A1a 2008/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényhatárérték=) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
Emellett ''U'' '''nyílt halmaz''', ha minden pontja belső pont és '''zárt''', ha komplementere nyílt. | Emellett ''U'' '''nyílt halmaz''', ha minden pontja belső pont és '''zárt''', ha komplementere nyílt. | ||
| − | ==Függvényhatárérték | + | ==Függvényhatárérték== |
| − | Legyen ''f'' egy az ''A'' ⊆ '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha | + | Legyen ''f'' egy az ''A'' ⊆ '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem '''határértéke''' az ''u''-ban, ha |
| − | :minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden '' | + | :minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden ''x'' ∈ ''A'' ∩ B<sub>δ</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''x'') ∈ B<sub>ε</sub>(''v'') |
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők. | ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők. | ||
| + | Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése: | ||
| + | :<math> | ||
| + | \lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,</math> | ||
| + | |||
| + | Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv: | ||
| + | |||
| + | '''Tétel.''' Legyen ''f'' egy az ''A'' ⊆ '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja és <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math>. Ekkor az alábbiak ekvivalensek: | ||
| + | # ''f''-nek a ''v'' '''határértéke''' az ''u''-ban, | ||
| + | # minden az ''A''\{u}-ban haladó, az ''u''-hoz konvergáló (''x''<sub>n</sub>) sorozat esetén az (''f''(''x''<sub>n</sub>)) a ''v''-hez konvergál. | ||
| + | |||
| + | Ennek a segítségével egy rendkívül hatákony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk: | ||
| + | '''Állítás.''' ''f''-nek pontosan akkor nincs határértéke ''u''-ban, ha van olyan ''A''\{u}-ban haladó, az ''u''-hoz konvergáló (''x''<sub>n</sub>) sorozat, mely esetén az az (''f''(''x''<sub>n</sub>)) nem tart egyetlen elemhez sem. | ||
'''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy | '''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy | ||
| 19. sor: | 31. sor: | ||
#<math>\not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}</math> | #<math>\not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}</math> | ||
| − | 1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz: | + | 1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz: |
| − | :<math> | + | :<math>\frac{1}{z^2}>\frac{1}{\varepsilon}</math> |
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy | ||
| − | :<math>|z|<\varepsilon</math> | + | :<math>|z|<\sqrt{\varepsilon}</math> |
| − | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát | + | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := néyzetgyök ε és |''z''| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség. |
2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz: | 2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz: | ||
A lap 2008. október 27., 17:44-kori változata
Néhány topologikus fogalom
Ha A ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ 
pontot az A
- torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén Br(u)\{u} ∩ A nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ A, de nem torlódási pontja A-nak.
- belső pontjának nevezzük, ha van olyan környzete, mely benne van A-ban.
Emellett U nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont és zárt, ha komplementere nyílt.
Függvényhatárérték
Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen 
az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a 
elem határértéke az u-ban, ha
- minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden x ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.
Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:
Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv:
Tétel. Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja és . Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
- f-nek a v határértéke az u-ban,
- minden az A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén az (f(xn)) a v-hez konvergál.
Ennek a segítségével egy rendkívül hatákony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk: Állítás. f-nek pontosan akkor nincs határértéke u-ban, ha van olyan A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat, mely esetén az az (f(xn)) nem tart egyetlen elemhez sem.
Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := néyzetgyök ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
