Matematika A1a 2008/8. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Függvényhatárérték)
(Függvényhatárérték)
17. sor: 17. sor:
 
:<math>
 
:<math>
 
\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,</math>
 
\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,</math>
'''
+
'''Bal és jobboldali határérték''':
Bal és jobboldali határérték''':
+
 
:<math>
 
:<math>
 
\exists\lim\limits_{u+}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(u,+\infty)}=v</math>
 
\exists\lim\limits_{u+}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(u,+\infty)}=v</math>

A lap 2008. október 27., 17:03-kori változata

<Matematika A1a 2008

Néhány topologikus fogalom

Ha AR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az A

  • torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén Br(u)\{u} ∩ A nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
  • izolált pontjának nevezzük, ha uA, de nem torlódási pontja A-nak.
  • belső pontjának nevezzük, ha van olyan környzete, mely benne van A-ban.

Emellett U nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont és zárt, ha komplementere nyílt.

Függvényhatárérték

Legyen f egy az AR halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a \scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}} elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden xA ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)

ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.

Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:


\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,

Bal és jobboldali határérték:


\exists\lim\limits_{u+}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(u,+\infty)}=v

\exists\lim\limits_{u-}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(-\infty,u)}=v

Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv:

Tétel. Legyen f egy az AR halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja és \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

  1. f-nek a v határértéke az u-ban,
  2. minden az A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén az (f(xn)) a v-hez konvergál.

Ennek a segítségével egy rendkívül hatékony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk:

Állítás. f-nek pontosan akkor nincs határértéke u-ban, ha van olyan A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat, mely esetén az az (f(xn)) nem tart egyetlen elemhez sem.

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z^2}=+\infty
  2. \not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z} de létezik mindkét egyoldali határértéke.

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\frac{1}{z^2}>\frac{1}{\varepsilon}

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|<\sqrt{\varepsilon}

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := négyzetgyök ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Megadunk egy nullsorozatot, mely függvényértékeinek sorozatának semmiképpen nincs határértéke:

x_n=\frac{1}{n}(-1)^n\,

Ekkor x2n \to +∞ és x2n+1 \to -∞, holott ezeknek egyenlőknek kellene lenniők (ha létezik határérték, akkor minden részsorozat határértéke ugyanaz).

Határérték és függvényműveletek

TételVégtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

 \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

Feladat. Hol van határértéke az

f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x^2+3x+2}\,

függvénynek.

Személyes eszközök