Matematika A1a 2008/8. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Határérték és függvénykompozíció)
(Határérték és függvénykompozíció)
72. sor: 72. sor:
  
 
===Határérték és függvénykompozíció===  
 
===Határérték és függvénykompozíció===  
'''Definíció.''' Ha ''f'' és ''g'' függvények, akkor az ''f'' <math>\circ</math> ''g'' függvény hozzárendelési utasítása:
+
'''Definíció.''' Ha ''f'' és ''g'' függvények, akkor az ''f'' <math>\circ</math> ''g'' (függvénykompozíció vagy összetett függvény) hozzárendelési utasítása:
 
:<math>(f\circ g)(x)=f(g(x))\,</math> másként: <math>x\mapsto g(x)\mapsto f(g(x))\,</math>
 
:<math>(f\circ g)(x)=f(g(x))\,</math> másként: <math>x\mapsto g(x)\mapsto f(g(x))\,</math>
 
értelmezési tartománya pedig:
 
értelmezési tartománya pedig:
 
:<math>\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom} \mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}</math>
 
:<math>\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom} \mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}</math>
 +
 +
Összetett függvények esetén a leggyakrabban használt, a határértékre vonatkozó állítás:
 +
 +
'''Tétel.''' Ha ''u'' torlódási pontja a Dom( ''f'' <math>\circ</math> ''g'') halmaznak, ''g'' injektív az ''u'' egy környzetén, létezik határértéke és ''f''-nek létezik határértéke lim<sub>u</sub> g-ben, akkor ''f'' <math>\circ</math> ''g''-nek is létezik határértéke ''u''-ban és
 +
:<math>\lim\limits_{u}f\circ g=\lim\limits_{\lim\limits_{u}g}f\,</math>
  
 
[[Kategória:Matematika A1]]
 
[[Kategória:Matematika A1]]

A lap 2008. október 29., 09:08-kori változata

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Néhány topologikus fogalom

Ha AR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az A

  • torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén Br(u)\{u} ∩ A nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
  • izolált pontjának nevezzük, ha uA, de nem torlódási pontja A-nak.
  • belső pontjának nevezzük, ha van olyan környzete, mely benne van A-ban.
  • határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.

Emellett U nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont és zárt, ha komplementere nyílt.

Például egy nemelfajuló (nem egypontú, nem üres) intervallum végpontjai határpontjai az intervallumnak.

Függvényhatárérték

Legyen f egy az AR halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a \scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}} elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden xA ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)

ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.

Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:


\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,

Bal és jobboldali határérték:


\exists\lim\limits_{u+}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(u,+\infty)}=v

\exists\lim\limits_{u-}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(-\infty,u)}=v

Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv:

Tétel. Legyen f egy az AR halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja és \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

  1. f-nek a v határértéke az u-ban,
  2. minden az A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén az (f(xn)) a v-hez konvergál.

Ennek a segítségével egy rendkívül hatékony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk:

Állítás. f-nek pontosan akkor nincs határértéke u-ban, ha van olyan A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat, mely esetén az az (f(xn)) nem tart egyetlen elemhez sem.

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z^2}=+\infty
  2. \not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z} de létezik mindkét egyoldali határértéke.

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\frac{1}{z^2}>\frac{1}{\varepsilon}

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|<\sqrt{\varepsilon}

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := négyzetgyök ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Megadunk egy nullsorozatot, mely függvényértékeinek sorozatának semmiképpen nincs határértéke:

x_n=\frac{1}{n}(-1)^n\,

Ekkor x2n \to +∞ és x2n+1 \to -∞, holott ezeknek egyenlőknek kellene lenniők (ha létezik határérték, akkor minden részsorozat határértéke ugyanaz).

Határérték és műveletek

TételVégtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

 \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

Feladat. Vizsgáljuk meg határérték szempontjából az

f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x^2+3x+2}\,

függvényt.

Határérték és rendezés

Két elvet használunk gyakran. Az egyik a "korlátos szor nullához tartó az nullához tart" , a másik a minorálás: ha g(x) az u-ban a + végtelenbe tart és f(x) az u környzetében nagyobb mint g(x), akkor f(x) is a végtelenbe tart.

A rendőr elv megfogalmazása házi feladat.

Feladat. Vizsgáljuk meg, hogy a

f(x)=\frac{\sin(x)\cdot \mathrm{sh}(x)}{e^x}\,

függvénynek létezik-e és ha igen mi a határértéke az értelmezési tartományai határpontjaiban!

Határérték és függvénykompozíció

Definíció. Ha f és g függvények, akkor az f \circ g (függvénykompozíció vagy összetett függvény) hozzárendelési utasítása:

(f\circ g)(x)=f(g(x))\, másként: x\mapsto g(x)\mapsto f(g(x))\,

értelmezési tartománya pedig:

\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom} \mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}

Összetett függvények esetén a leggyakrabban használt, a határértékre vonatkozó állítás:

Tétel. Ha u torlódási pontja a Dom( f \circ g) halmaznak, g injektív az u egy környzetén, létezik határértéke és f-nek létezik határértéke limu g-ben, akkor f \circ g-nek is létezik határértéke u-ban és

\lim\limits_{u}f\circ g=\lim\limits_{\lim\limits_{u}g}f\,
Személyes eszközök