Matematika A1a 2008/9. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálhatóság) |
||
| 11. sor: | 11. sor: | ||
'''2. Definíció''' -- létezik és véges a következő határérték: | '''2. Definíció''' -- létezik és véges a következő határérték: | ||
| − | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}</math> | + | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\quad\quad(*)</math> |
Ekkor f'(''u'') maga a fenti határérték. | Ekkor f'(''u'') maga a fenti határérték. | ||
| + | A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni: | ||
| + | :<math>\varepsilon(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x\ne u\\ | ||
| + | \lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x=u\end{matrix}\right.</math> | ||
| + | ahol ''A'' az ''m''-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és lim<sub>x <math>\to</math> u</sub> (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet. | ||
| + | |||
| + | Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. | ||
| + | |||
| + | '''Példa.''' | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] | ||
A lap 2008. november 24., 21:11-kori változata
Differenciálhatóság
Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha
1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) 
R függvény és olyan m ∈ R szám, hogy:
- minden x ∈ Dom(f)-re
- f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
- ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.
Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)
2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:
Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.
A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:
ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú.
Példa.
