Matematika A1a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Fermat-féle szélsőértéktétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Szorzat és hányados) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
2. sor: | 2. sor: | ||
− | == | + | ==Deriváltak, differenciálási szabályok== |
− | :'' | + | '''Definíció.''' Az ''f'': '''R'''⊃<math>\to</math>'''R''' függvény deriváltfüggvényén értjük a |
+ | :<math>f':\;\{x\in\mathrm{Dom}\,f\mid f \;\mathrm{''diff.hato}\;x\mathrm{-ben''} \}\to\mathbf{R},\;x\mapsto f'(x) </math> | ||
+ | |||
+ | :<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\,</math> | ||
+ | :<math>(e^x)'=e^x\,</math> | ||
+ | :<math>(\mathrm{ln}\,x)'=\frac{1}{x}</math> | ||
+ | :<math>(\sin x)'=\cos x\,</math> | ||
+ | :<math>(\cos x)'=-\sin x\,</math> | ||
+ | :<math>(\mathrm{arctg}\,x)'=\frac{1}{1+x^2}</math> | ||
+ | ===Linearitás=== | ||
+ | |||
+ | : A hozzáadott konstans szabálya: <math>(f+c)'=f'\,</math> | ||
+ | : A konstans szorzó szabálya: <math>(cf)'=cf'\,</math> | ||
+ | : Linearitás: <math>(af+bg)'=af'+bg'\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>10\sqrt[7]{x}+2\frac{1}{x^6}-\frac{5}{\sqrt[3]{x^2}}</math> | ||
+ | ===Szorzat és hányados=== | ||
+ | : <math>(fg)'=f'g+fg'\,</math> | ||
+ | : <math>(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'\,</math> | ||
+ | : <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>(\sin x\,\mathrm{ln}\, x)'=-\cos x\,\mathrm{ln}\, x+\sin(x)\frac{1}{x}</math> | ||
+ | :<math>(\mathrm{tg}\,x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x) }{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}</math> | ||
+ | ===Összetett függvény=== | ||
+ | : <math>(f\circ g)'=(f'\circ g)g'\,</math> | ||
+ | : <math>(f\circ g\circ h)'=(f'\circ g\circ h)(g'\circ h)h'\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>\sin (x^2)'=-\cos(x^2)\cdot 2x\,</math> | ||
+ | :<math>(e^{\cos x^5})'=5e^{\cos x^5}\sin(x^5)x^4</math> | ||
+ | :<math>(\mathrm{sh}(x^5)\cdot \mathrm{ln}(\mathrm{ch}\,x))'=</math> | ||
+ | :<math>((\sin x)^{\cos x})'=(e^{\cos x \,\mathrm{ln}\,\sin x})'=</math> | ||
==L'Hospital-szabályok== | ==L'Hospital-szabályok== |
A lap jelenlegi, 2009. november 17., 12:13-kori változata
Tartalomjegyzék |
Deriváltak, differenciálási szabályok
Definíció. Az f: R⊃R függvény deriváltfüggvényén értjük a
Linearitás
- A hozzáadott konstans szabálya:
- A konstans szorzó szabálya:
- Linearitás:
Példa.
Szorzat és hányados
Példa.
Összetett függvény
Példa.
L'Hospital-szabályok
Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és
Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra
és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt
Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.
1. Feladat. a.
Tétel -- Erős L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: (a,b) R az (a,b)-ben differenciálható függvények,
- lima f=lima g=0, vagy ∞,
- lima f '=lima g '=0, vagy ∞,
de lima g(n) ≠ 0 és létezzen a
Ekkor létezik a lima(f/g), és
Bizonyítás a Cauchy-féle középérték tétellel, illetve ennek általánosításával.
1. Feladat. b.
- * = e0 = 1
1. Feladat. c.
1. Feladat. d.
1. Feladat. e. x π/4
- * = 0
1. Feladat. f. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --
1. Feladat. g. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --
Fermat-féle szélsőértéktétel
Tétel -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha f valós-valós függvény és f differenciálható az u ∈ int Dom(f) pontban és f-nek u-ban lokális szélsőértéke van, akkor
- f'(u) = 0,
Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy u-ban minimum van. Legyen (δn) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden n-re δn + u, u- δn ∈ Dom(f). Ekkor
- és
Most az elsőt osszuk le &deta;n-nel, a másodikat -&deta;n-nel. Ekkor:
- és
S mivel, ha egy sorozat csupa nemnegatív (nempozitív), akkor a határértéke is ilyen, ezért:
- azaz
2. Feladat. Igaz-e?
- Ha f differenciálható az u ∈ int Dom(f)-ben és f'(u)=0, akkor ott szélsőértéke van.
- Ha f differenciálható az u ∈ Dom(f)-ben és ott szélső értéke van, akkor f'(u)=0.
- Ha f: [a,b] R monoton és létezik f'(b) és = 0, akkor ott lokális szélsőértéke van (itt f'(b)-n a baloldali deriváltat értjük).
- Ha f-nek az u ∈ int Dom(f)-ben szélsőértéke van, akkor f'(u)=0.
Megoldás.
- Nem igaz. Ellenpélda: f(x)=x3 és u = 0. Itt ugyanis u ∈ int Dom(f), f'(0)=0, de nincs szélsőértéke f-nek. A derivált zárushelye ugyanis nem elégséges feltétele a szélsőértéknek.
- Nem igaz. [0,1] zárton az f(x)=x-nek szélsőértéke a 0, de 0-ban a jobboldali derivált 1.
- Igaz. Még akkor is, ha f'(b) nem nulla, pusztán a monotonitás következménye.
- Nem igaz, mert még az se biztos, hogy létezik a derivált. Ellenpélda: f(x)=|x|, u=0
Lagrange-tétel
Innentől kezdve áttérünk az intervallumon értelmezett függvényekre. A Lagrange-tétel szigorúan intervallumon értelmezett függvényekről szól.
Tétel -- Lagrange-féle középértéktétel -- Legyen f: [a,b] R differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan ξ ∈ (a,b), hogy
Ugyanis, Legyen
Olyan g differenciálható függvény adunk meg, melynek pontosan olyan x helyen van nulla deriváltja, ahol f'(x)=m. Transzformáljuk el az f függvényt az l(x)=m(x-a) függvénnyel. Ezzel a g(x) = f(x) - l(x) olyan lesz, hogy g(a)=f(a)=g(b). 1) g folytonos, így a Weierstrass-tétel miatt felveszi mindkét típusú extrémumát. 2) van szélsőértéke a nyílt (a,b)-n. Esetszétválasztással. Ha max=min=f(a), akkor a függvény konstans, így van belül extrémum. Ha bármelyik nem f(a), akkor az a valamelyik nem lehet a-ban vagy b-ben (mert ezekben g f(a)). 3) alkalmazhatjuk a Fermat-féle szélsőértéktételt, így g'(ξ)=0, azaz f'(ξ) = m.
3. Feladat. Igaz-e, hogy ha f differenciálható, akkor bármely pontjára teljesül a fenti kijelentés?
Megoldás. Nem: f(x)=-1, ha x < 0, f(x)=1, ha x> 0, differenciálható, de az [-1,1]-re az 1/2-et sosem veszi fel a derivált.
Monotonitás differenciális feltételei
Tétel. f:I R differenciálható. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
- f monoton növekvő,
- minden x ∈ I-re
Ugyanis, 1) 2) a < x ∈ I-re: a monotonitásból:
x < a ∈ I-re: a monotonitásból:
azaz a különbségihányados függvény mindenütt nemnegatív (amit úgy nevezünk, hogy a függvény az a-ban lokálisan nő), azaz ennek határértéke sem lehet negatív. 2) 1) minden a < b ∈ I-re:
azaz f monoton nő.
Tétel. f:I R differenciálható. Ha minden x ∈ I-re f'(x) > 0f, akkor f szigorúan monoton növekvő.
Ugyanis, inden a < b ∈ I-re:
- f(b) − f(a) > 0
azaz f szigorúan monoton nő.
4. Feladat. Igaz-e?
- Ha f monoton nő, akkor f' nemnegatív.
- Ha f monoton nő, és mindenhol differenciálható, akkor f' nemnegatív.
- Ha f mindenhol differenciálható és f' mindenhol nemnegatív, akkor f monoton nő.
- Ha f intervallumon differenciálható és szigorúan monoton nő, akkor f' pozitív.
Megoldás.
- Ha úgy értjük, hogy mindenhol diffható és f' nemnegatív, akkor nem ha úgy, hogy csak ahol f' létezik, akkor igaz.
- Igen, mert ekkor lokálisan is monoton nő.
- Nem, f(x)=-1/x deriváltja mindenhol létezik, mindenhol nemnegatív és mégsem monoton nő (csak intervallumonként nő)
- Nem, f(x)=x3 szig. mon nő, de 0-ban a derivált 0.
5. Feladat. Igazoljuk, hogy ha x > 0, akkor f(x) = ln(1+x)-x+1/2x2 > 0!
Megoldás. Mivel 0-ban folytonosan kiterjeszthető, ezért ha a kiterjesztés szigorúan monoton növekvő lenne, akkor fennállna a kijelentés. Ehhez az kell, hogy a derivált (0,+∞)-en pozitív legyen:
A baloldali függvény negativitására abból következtethetünk, hogy szigorúan monoton növekvő a folytonos kiterjesztése (ami létezik, 0-ban 1), amihez az kell, hogy a deriváltja (0,+∞)-en pozitív legyen:
ami fennáll, hiszen ez pont azt mondja, hogy
azaz
- 1 < (1 + x)2
A függvényvizsgálat differenciális eszközei
Határértékek az értelmezési tartomány határpontjaiban
Ezt a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételekből, vagy differenciálható, intervallumon értelmezett függvénynél, ha a határérték határozatlan alakú, akkor L'Hospital-szabállyal állapítjuk meg.
Az első derivált vizsgálata
Láttuk a monotonitás differenciális jellemzését:
A szélsőértékre és annak jellegére az első deriváltból a következő módon következtethetünk:
Tétel. -- Elsőderivált próba -- Legyen az f (a,b) R differenciálható az (a,u)U(u,b) halmazon és folytonos u-ban. Ekkor:
- ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban minimum van,
- ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban maximum van,
- ha azonos előjelű mindenhol, akkor biztosan nincs szélsőérték
- ellenkező esetben a próba nem ját sikerrel.
Világos, hogy ehhez kell a monotonitási vizsgálat.
A második derivált vizsgálata
A görbületre vonatkozó differenciális feltétel:
A szélsőértékkel analóg fogalom itt az inflexiós pont, mely eleve a differenciális feltétellel definiált: azt mondjuk, hogy az u ∈ I pont inflexiós pontja az függvénynek, ha abban a pontban a második derivált előjelet vált.
Érdemes még megjegyezni a szélsőértékre vonatkozó másodikderivált próbát, mely lokális abban az értelemben, hogy pusztán csak a második derivált pontbeli értéke a döntő:
Tétel. -- Másodikderivált próba -- Legyen olyan, hogy az u ∈ int(I) pontban f'(u)=0. Ekkor
- ha f''(u) > 0, akkor u-ban f-nek u-ban lokális minimuma van,
- ha f''(u) < 0, akkor u-ban f-nek u-ban lokális minimuma van,
- más esetekben a próba nem jár sikerrel.
A tétel így, azaz a kétszeri folytonos differenciálhatósg megkövetelésével kimondva világos. Az első esetben u egy környezetében f'' pozitív, azaz f' szig. mon. nő, azaz a f' a 0-n áthaladtában előjelet vált, így az első derivált próba szerint ott szélsőértéke van (éspedig minimum). A mási eset analóg ezzel.
Feladat Vizsgáljuk meg monotonitás, szélsőérték és görbület szempontjából a következő függvényeket!