Matematika A1a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálhatóság) |
||
22. sor: | 22. sor: | ||
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. | Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. | ||
− | '''Példa.''' | + | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy |
+ | :<math>f(x)=e^{\sin x}\,</math> | ||
+ | differenciálható a 0-ban és deriváltja 1. | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor | ||
+ | :<math> | ||
+ | \frac{e^{\sin x}-e^{\sin 0}}{x-0}=\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\frac{x}{\sin x}</math> | ||
+ | Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy | ||
+ | :<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-\cos x }{x}-\sin x, & \mathrm{ha} & x\ne 0\\ 0, & \mathrm{ha} & x=0\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | differenciálható a 0-ban és deriváltja 1. | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor | ||
+ | :<math> | ||
+ | \frac{\frac{1-\cos x }{x}-\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x}</math> | ||
+ | Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2008. november 24., 21:19-kori változata
Differenciálhatóság
Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha
1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) R függvény és olyan m ∈ R szám, hogy:
- minden x ∈ Dom(f)-re
- f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
- ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.
Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)
2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:
Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.
A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:
ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú.
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.