Matematika A1a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálási szabályok) |
||
44. sor: | 44. sor: | ||
==Differenciálási szabályok== | ==Differenciálási szabályok== | ||
+ | ==L'Hospital-szabályok== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek ''f'' és ''g'': ''A'' <math>\to</math> '''R''' valós-valós függvények, ''u'' ∈ ''A'' ∩ ''A'' ', ''f''(u)=''g''(u)=0, mindkettő differenciálható ''u''-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a lim<sub>u</sub>(''f''/''g''), és | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,''' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az ''u''-hoz olyan ε, η: ''A'' <math>\to</math> '''R''', hogy minden ''x'' ∈ ''A'' ∩ Dom(''f''/''g'')-ra | ||
+ | :<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}</math> | ||
+ | és ∃lim<sub>u</sub>ε=ε(u)=0, ∃lim<sub>u</sub>η=η(u)=0. Emiatt és ''f''(u)=''g''(u)=0 miatt | ||
+ | :<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}</math> | ||
+ | Aminek a határéttéke, ha ''x'' tart ''u''-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget. | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat. a.''' | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0} e^{\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}= e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}=e^{\frac{\frac{\sin(0)}{\cos (0)}}{1}}=1</math> | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' -- Erős L'Hospital-szabály -- Legyenek ''f'' és ''g'': (a,b) <math>\to</math> '''R''' az (a,b)-ben differenciálható függvények, | ||
+ | :lim<sub>a</sub> ''f''=lim<sub>a</sub> ''g''=0, vagy ∞, | ||
+ | :lim<sub>a</sub> ''f'' '=lim<sub>a</sub> ''g'' '=0, vagy ∞, | ||
+ | :<math>\vdots\,</math> | ||
+ | de lim<sub>a</sub> g<sup>(n)</sup> ≠ 0 és létezzen a | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}</math> | ||
+ | Ekkor létezik a lim<sub>a</sub>(''f''/''g''), és | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}</math> | ||
+ | |||
+ | Bizonyítás a Cauchy-féle középérték tétellel, illetve ennek általánosításával. | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat. b.''' | ||
+ | |||
+ | :<math>(\sin x)^{x}= e^{x\mathrm{ln}\,\sin x}= e^{\frac{\mathrm{ln}\,\sin x}{\frac{1}{x}} }=*</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0+ }\frac{\mathrm{ln}\,\sin x}{\frac{1}{x}} =_{L'H}\lim\limits_{x\to 0+ }\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0+ }-x\frac{x\cos x}{\sin x}=0</math> | ||
+ | :<math>*=e^0=1</math> | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat. c.''' | ||
+ | |||
+ | <math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x -1}{3x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sin x}{6x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}</math> | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat. d.''' | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0+}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{ln}\,x }=_{L'H} | ||
+ | \lim\limits_{x\to 0+} \frac{ -e^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2 } }{\frac{1}{x}}= | ||
+ | \lim\limits_{x\to 0+}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=- \infty</math> | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat. e.''' x <math>\to</math> π/4 | ||
+ | |||
+ | :<math>(\mathrm{tg}\, x)^{-\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4})}= e^{-\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4})\mathrm{ln}\,\mathrm{tg}\, x}=* </math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}+ }\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{tg}\, x}{\frac{1}{\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4})}} =_{L'H}\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}+ }\frac{ \frac{1}{\mathrm{tg}\, x}\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{-1}{\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4}) }\frac{1}{ x-\frac{\pi}{4}} }=+\infty</math> | ||
+ | :<math>*=0</math> | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat. f. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --''' | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}-\frac{1}{1-\cos x}=?</math> | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat. g. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --''' | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0+}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{2}{x}}+e^{\frac{3}{x}}}=?</math> | ||
+ | |||
+ | ==Fermat-féle szélsőértéktétel== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha ''f'' valós-valós függvény és ''f'' differenciálható az ''u'' ∈ int Dom(''f'') pontban és ''f''-nek ''u''-ban lokális szélsőértéke van, akkor | ||
+ | :<math>f'(u)=0,</math> | ||
+ | |||
+ | Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy ''u''-ban minimum van. Legyen (δ<sub>n</sub>) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden ''n''-re δ<sub>n</sub> + u, u- δ<sub>n</sub> ∈ Dom(''f''). Ekkor | ||
+ | :<math>0\leq f(u+\delta_n)-f(u)\,</math> és <math>f(u-\delta_n)-f(u)\geq 0\,</math> | ||
+ | Most az elsőt osszuk le &deta;<sub>n</sub>-nel, a másodikat -&deta;<sub>n</sub>-nel. Ekkor: | ||
+ | :<math>0\leq\frac{f(u+\delta_n)-f(u)}{\delta_n}\to f'(u)\,</math> és <math>f'(u)\leftarrow\frac{f(u-\delta_n)-f(u)}{-\delta_n}\leq 0\,</math> | ||
+ | S mivel, ha egy sorozat csupa nemnegatív (nempozitív), akkor a határértéke is ilyen, ezért: | ||
+ | :<math>0\leq f'(u)\leq 0\,</math> azaz <math>f'(u)=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''2. Feladat.''' Igaz-e? | ||
+ | # Ha ''f'' differenciálható az ''u'' ∈ int Dom(f)-ben és f'(u)=0, akkor ott szélsőértéke van. | ||
+ | # Ha ''f'' differenciálható az ''u'' ∈ Dom(f)-ben és ott szélső értéke van, akkor f'(u)=0. | ||
+ | # Ha '''f''': [a,b] <math>\to</math> '''R''' monoton és létezik f'(b) és = 0, akkor ott lokális szélsőértéke van (itt f'(b)-n a baloldali deriváltat értjük). | ||
+ | # Ha ''f''-nek az ''u'' ∈ int Dom(f)-ben szélsőértéke van, akkor f'(u)=0. | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | |||
+ | # Nem igaz. Ellenpélda: f(x)=x<sup>3</sup> és ''u'' = 0. Itt ugyanis ''u'' ∈ int Dom(f), f'(0)=0, de nincs szélsőértéke f-nek. A derivált zárushelye ugyanis nem elégséges feltétele a szélsőértéknek. | ||
+ | # Nem igaz. [0,1] zárton az f(x)=x-nek szélsőértéke a 0, de 0-ban a jobboldali derivált 1. | ||
+ | # Igaz. Még akkor is, ha f'(b) nem nulla, pusztán a monotonitás következménye. | ||
+ | # Nem igaz, mert még az se biztos, hogy létezik a derivált. Ellenpélda: f(x)=|x|, u=0 | ||
A lap 2008. november 26., 17:01-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálhatóság
Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha
1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) R függvény és olyan m ∈ R szám, hogy:
- minden x ∈ Dom(f)-re
- f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
- ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.
Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)
2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:
Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.
A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:
ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,
Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnű tag összegeként:
- , a lineáris és a nemlineáris
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.
Differenciálási szabályok
L'Hospital-szabályok
Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és
Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra
és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt
Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.
1. Feladat. a.
Tétel -- Erős L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: (a,b) R az (a,b)-ben differenciálható függvények,
- lima f=lima g=0, vagy ∞,
- lima f '=lima g '=0, vagy ∞,
de lima g(n) ≠ 0 és létezzen a
Ekkor létezik a lima(f/g), és
Bizonyítás a Cauchy-féle középérték tétellel, illetve ennek általánosításával.
1. Feladat. b.
- * = e0 = 1
1. Feladat. c.
1. Feladat. d.
1. Feladat. e. x π/4
- * = 0
1. Feladat. f. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --
1. Feladat. g. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --
Fermat-féle szélsőértéktétel
Tétel -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha f valós-valós függvény és f differenciálható az u ∈ int Dom(f) pontban és f-nek u-ban lokális szélsőértéke van, akkor
- f'(u) = 0,
Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy u-ban minimum van. Legyen (δn) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden n-re δn + u, u- δn ∈ Dom(f). Ekkor
- és
Most az elsőt osszuk le &deta;n-nel, a másodikat -&deta;n-nel. Ekkor:
- és
S mivel, ha egy sorozat csupa nemnegatív (nempozitív), akkor a határértéke is ilyen, ezért:
- azaz
2. Feladat. Igaz-e?
- Ha f differenciálható az u ∈ int Dom(f)-ben és f'(u)=0, akkor ott szélsőértéke van.
- Ha f differenciálható az u ∈ Dom(f)-ben és ott szélső értéke van, akkor f'(u)=0.
- Ha f: [a,b] R monoton és létezik f'(b) és = 0, akkor ott lokális szélsőértéke van (itt f'(b)-n a baloldali deriváltat értjük).
- Ha f-nek az u ∈ int Dom(f)-ben szélsőértéke van, akkor f'(u)=0.
Megoldás.
- Nem igaz. Ellenpélda: f(x)=x3 és u = 0. Itt ugyanis u ∈ int Dom(f), f'(0)=0, de nincs szélsőértéke f-nek. A derivált zárushelye ugyanis nem elégséges feltétele a szélsőértéknek.
- Nem igaz. [0,1] zárton az f(x)=x-nek szélsőértéke a 0, de 0-ban a jobboldali derivált 1.
- Igaz. Még akkor is, ha f'(b) nem nulla, pusztán a monotonitás következménye.
- Nem igaz, mert még az se biztos, hogy létezik a derivált. Ellenpélda: f(x)=|x|, u=0