Matematika A1a 2008/9. gyakorlat
Differenciálási szabályok
- lásd bárhol, pl: http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Differentiation
L'Hospital-szabályok
Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és
Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra
és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt
Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.
1. Feladat. a.
Tétel -- Erős L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: (a,b) R az (a,b)-ben differenciálható függvények,
- lima f=lima g=0, vagy ∞,
- lima f '=lima g '=0, vagy ∞,
de lima g(n) ≠ 0 és létezzen a
Ekkor létezik a lima(f/g), és
Bizonyítás a Cauchy-féle középérték tétellel, illetve ennek általánosításával.
1. Feladat. b.
- * = e0 = 1
1. Feladat. c.
1. Feladat. d.
1. Feladat. e. x π/4
- * = 0
1. Feladat. f. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --
1. Feladat. g. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --
Fermat-féle szélsőértéktétel
Tétel -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha f valós-valós függvény és f differenciálható az u ∈ int Dom(f) pontban és f-nek u-ban lokális szélsőértéke van, akkor
- f'(u) = 0,
Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy u-ban minimum van. Legyen (δn) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden n-re δn + u, u- δn ∈ Dom(f). Ekkor
- és
Most az elsőt osszuk le &deta;n-nel, a másodikat -&deta;n-nel. Ekkor:
- és
S mivel, ha egy sorozat csupa nemnegatív (nempozitív), akkor a határértéke is ilyen, ezért:
- azaz
2. Feladat. Igaz-e?
- Ha f differenciálható az u ∈ int Dom(f)-ben és f'(u)=0, akkor ott szélsőértéke van.
- Ha f differenciálható az u ∈ Dom(f)-ben és ott szélső értéke van, akkor f'(u)=0.
- Ha f: [a,b] R monoton és létezik f'(b) és = 0, akkor ott lokális szélsőértéke van (itt f'(b)-n a baloldali deriváltat értjük).
- Ha f-nek az u ∈ int Dom(f)-ben szélsőértéke van, akkor f'(u)=0.
Megoldás.
- Nem igaz. Ellenpélda: f(x)=x3 és u = 0. Itt ugyanis u ∈ int Dom(f), f'(0)=0, de nincs szélsőértéke f-nek. A derivált zárushelye ugyanis nem elégséges feltétele a szélsőértéknek.
- Nem igaz. [0,1] zárton az f(x)=x-nek szélsőértéke a 0, de 0-ban a jobboldali derivált 1.
- Igaz. Még akkor is, ha f'(b) nem nulla, pusztán a monotonitás következménye.
- Nem igaz, mert még az se biztos, hogy létezik a derivált. Ellenpélda: f(x)=|x|, u=0