Matematika A1a 2008/9. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. április 22., 09:00-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008


Differenciálási szabályok

lásd bárhol, pl: http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Differentiation

L'Hospital-szabályok

Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A \to R valós-valós függvények, uAA ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}

Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A \to R, hogy minden xA ∩ Dom(f/g)-ra

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}

és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}

Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.

1. Feladat. a.

\lim\limits_{x\to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0} e^{\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}= e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}=e^{\frac{\frac{\sin(0)}{\cos (0)}}{1}}=1

Tétel -- Erős L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: (a,b) \to R az (a,b)-ben differenciálható függvények,

lima f=lima g=0, vagy ∞,
lima f '=lima g '=0, vagy ∞,
\vdots\,

de lima g(n) ≠ 0 és létezzen a

\lim\limits_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}

Ekkor létezik a lima(f/g), és

\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}

Bizonyítás a Cauchy-féle középérték tétellel, illetve ennek általánosításával.

1. Feladat. b.

(\sin x)^{x}= e^{x\mathrm{ln}\,\sin x}= e^{\frac{\mathrm{ln}\,\sin x}{\frac{1}{x}} }=*
\lim\limits_{x\to 0+ }\frac{\mathrm{ln}\,\sin x}{\frac{1}{x}} =_{L'H}\lim\limits_{x\to 0+ }\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0+ }-x\frac{x\cos x}{\sin x}=0
* = e0 = 1

1. Feladat. c.

\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x -1}{3x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sin x}{6x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}

1. Feladat. d.

\lim\limits_{x\to 0+}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{ln}\,x }=_{L'H}
\lim\limits_{x\to 0+} \frac{ -e^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2 } }{\frac{1}{x}}=
\lim\limits_{x\to 0+}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=- \infty

1. Feladat. e. x \to π/4

(\mathrm{tg}\, x)^{-\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4})}= e^{-\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4})\mathrm{ln}\,\mathrm{tg}\, x}=*
\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}+ }\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{tg}\, x}{\frac{1}{\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4})}} =_{L'H}\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}+ }\frac{ \frac{1}{\mathrm{tg}\, x}\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{-1}{\mathrm{ln}\,(x-\frac{\pi}{4}) }\frac{1}{ x-\frac{\pi}{4}} }=+\infty
* = 0

1. Feladat. f. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --

\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}-\frac{1}{1-\cos x}=?

1. Feladat. g. -- amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás --

\lim\limits_{x\to 0+}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{2}{x}}+e^{\frac{3}{x}}}=?

Fermat-féle szélsőértéktétel

Tétel -- Differenciálható függvény belső pontbeli szélsőértéke létezésének szükséges feltétele -- Ha f valós-valós függvény és f differenciálható az u ∈ int Dom(f) pontban és f-nek u-ban lokális szélsőértéke van, akkor

f'(u) = 0,

Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy u-ban minimum van. Legyen (δn) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden n-re δn + u, u- δn ∈ Dom(f). Ekkor

0\leq f(u+\delta_n)-f(u)\, és f(u-\delta_n)-f(u)\geq 0\,

Most az elsőt osszuk le &deta;n-nel, a másodikat -&deta;n-nel. Ekkor:

0\leq\frac{f(u+\delta_n)-f(u)}{\delta_n}\to f'(u)\, és f'(u)\leftarrow\frac{f(u-\delta_n)-f(u)}{-\delta_n}\leq 0\,

S mivel, ha egy sorozat csupa nemnegatív (nempozitív), akkor a határértéke is ilyen, ezért:

0\leq f'(u)\leq 0\, azaz f'(u)=0\,

2. Feladat. Igaz-e?

  1. Ha f differenciálható az u ∈ int Dom(f)-ben és f'(u)=0, akkor ott szélsőértéke van.
  2. Ha f differenciálható az u ∈ Dom(f)-ben és ott szélső értéke van, akkor f'(u)=0.
  3. Ha f: [a,b] \to R monoton és létezik f'(b) és = 0, akkor ott lokális szélsőértéke van (itt f'(b)-n a baloldali deriváltat értjük).
  4. Ha f-nek az u ∈ int Dom(f)-ben szélsőértéke van, akkor f'(u)=0.

Megoldás.

  1. Nem igaz. Ellenpélda: f(x)=x3 és u = 0. Itt ugyanis u ∈ int Dom(f), f'(0)=0, de nincs szélsőértéke f-nek. A derivált zárushelye ugyanis nem elégséges feltétele a szélsőértéknek.
  2. Nem igaz. [0,1] zárton az f(x)=x-nek szélsőértéke a 0, de 0-ban a jobboldali derivált 1.
  3. Igaz. Még akkor is, ha f'(b) nem nulla, pusztán a monotonitás következménye.
  4. Nem igaz, mert még az se biztos, hogy létezik a derivált. Ellenpélda: f(x)=|x|, u=0
Személyes eszközök