Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Normált tér)
(Példák)
(egy szerkesztő 43 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
Az első gyakorlaton a '''R'''<sup>n</sup> topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az '''R'''<sup>n</sup> egy részhalmazából '''R'''<sup>m</sup>-be ható folytonos leképezésekre. A meghatározottság kedvéért '''R'''<sup>n</sup>-en a
 
:<math>\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}:x_1,x_2,...,x_n\in \mathbf{R}\right\}</math>
 
halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy '''R''' saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineáris algebra szempontjából nem kerülendő.)
 
  
Amivel foglalkozunk -- vázlatosan -- azok a következő struktúrák:
+
==Többváltozós bemelegítés==
* vektortér: (V, +,  &lambda;._)<sub>&lambda;&isin; '''R'''</sub> azaz a vektorok, ahol tehát van az elemek köztük "összeadás" és valós számmal történő szorzás
+
* normált tér: N = (V, ||.||) azaz, ahol már vektorok "hosszát" is értelmezzük
+
* euklideszi tér: E = (V, <math>\cdot</math>)  , azaz ahol van "skaláris szorzás" és ebből származtatható a vektorhossz.
+
* topológia N felett azaz a környzet és nyilt halmazok fogalma normált téren
+
  
==Lineáris tér==
+
Oldja meg az
 +
:<math>\begin{matrix}
 +
x_1+2x_2+3x_3+2x_4&=&1 \\
 +
\quad \;\; x_2+x_3+x_4&=& 2\\
 +
x_1+3x_2+4x_3+3x_4&=&3 \\
 +
2x_1+5x_2+7x_3+5x_4&=&4
 +
\end{matrix}
 +
</math>
 +
egyenletrendszert!
  
Volt '''R'''<sup>3</sup> vektorgeometriájában, hogy a vektorok összadása és skalárral (valós számmal) való szorzása komponensenként történik. A továbbiakban egy magasabb nézőpontból az összeadásnak és a számmal való szorzásnak kiemelünk néhány tulajdonságát és elfeledkezünk arról, hogy ezeknek mi volt a konkrét definíciója. Ezután olyan halmazokat és műveleteket keresünk, melyek esetén a kiemelt "képletek" teljesülnek. A kiemelt tulajdonságok lányegében azok lesznek, hogy az összeadás "valóban" összeadásként viselkedik, a szorzás pedig "valóban" szorzásként.
+
'''MO.'''
 +
A kibővített mátrix:
 +
:<math>\begin{bmatrix}
 +
1 & 2 & 3 & 2 & 1\\
 +
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
 +
1 & 3 & 4 & 3 & 3\\
 +
2 & 5 & 7 & 5 & 4\\
 +
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
 +
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
 +
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
 +
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
 +
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
 +
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
 +
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
 +
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
 +
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
Ez utóbbit hívják lépcsős alaknak. Ha most a főátlóba egyeseket teszünk (vezérelemek) és fölöttük alattuk csak nullák állnak (a többi maradhat), akkor a redukált lépcsős alakhoz jutunk.
 +
:<math>\sim
 +
\begin{bmatrix}
 +
1 & 0 & 1 & 0 & -3 \\
 +
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
 +
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 +
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
Innen a megoldás (az <math>x_3</math> és <math>x_4</math> változókat rendre az ''s'' és ''t'' paramétereknek választva)
 +
:<math>\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3-s\\ 2-s-t\\s\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\ 2\\0\\0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}-1\\ -1\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}0\\ -1\\0\\1\end{bmatrix}</math>
  
Az L halmaz lineáris tér a +:''L''&times;''L'' <math>\to</math> ''L'' összeadással és .:'''R'''&times;''L''<math> \to</math> ''L'' valós számmal szorzással, ha létezik L-ben egy 0 elem és minden L-beli x-hez olyan (-x) szintén L-beli elem, hogy teljesülnek a következő tuljadonságok:
+
==Függvénytér==
# x + y = y + x
+
# (x + y) + z = x + (y + z)
+
# 0 + x = x + 0 = x
+
# (-x) + x = x + (-x) = 0
+
# &lambda;.(&mu;.x) = (&lambda;&mu;).x
+
# &lambda;.(x + y) = &lambda;.x + &mu;.y
+
# (&lambda;+&mu;).x = &lambda;.x + &mu;.x
+
# 1.x = x
+
minden x,y L-belire és &lambda;, &mu; '''R'''-belire. Az ilyet valós test feletti lineáris térnek, vagy vektortérnek is nevezik.
+
  
Két lényeges fogalom. Lineáris kombináció:
+
A félév során gyakran fogunk találkozni olyan lineáris terekkel (a lineáris tér fogalmát az előadáson tanuljuk meg), melyek elemei függvények. Ezeknek alaptípusa a következő. Legyen ''H'' tetszőleges halmaz. Ekkor a
:<math>\lambda_1</math><math>x^1</math> + <math>\lambda_2</math><math>x_2</math> + ...+ <math> \lambda_n</math><math>x_n</math>.  
+
:<math>\{f:H\to \mathbf{R}\}=_\mathrm{def}\mathbf{R}^H\,(=\mathcal{F}(H))</math>
 +
halmazt, azaz a ''H''-n értelmezett '''R'''-be képező függvények halmazát '''függvénytér'''nek nevezzük. A függvénytér lineáris tér a pontonként műveletekkel, azaz a következőkkel:
 +
:<math>f+g:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto f(x)+g(x)\,</math>
 +
ha &lambda; valós szám, akkor
 +
:<math>\lambda.f:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto \lambda.f(x)\,</math>
 +
Függvénytér lineáris alterét is függvénytérnek nevezzük. Lineáris altér egy lineáris tér részhalmaza, ha a fenti műveletekre zárt.
  
Dimenzió: hány előre megadott vektor lineáris kombinációjából áll elő egyértelműen a tér bármely vektora. Ez utóbbi fogalmat persze még erősen finomítani kell.  
+
'''Feledat.''' a) Keressünk olyan ''n'' &isin; ''F''(''H'')-t, melyre minden ''f'' esetén ''n+f=f+n=f''! b) Keressünk minden ''f'' &isin; ''F''(''H'')-hez olyan ''g''-t, melyre az előző (egyébként egyértelmű) ''n'' &isin; ''F''(''H'')-nel ''f+g=g+f=n'' teljesül! c) Igazoljuk, hogy minden ''f'', ''g'' &isin; ''F''(''H'')-re <math>\lambda (f+g)=\lambda f+\lambda g</math>, <math>(\lambda +\mu)f=\lambda f+\mu f</math>, <math>\lambda (\mu f)=(\lambda\mu) f</math>, <math>1.f=f</math>!
 +
 
 +
Az ''F'' függvénytér ''B'' részhalmaza bázis, ha ''B''-beli elemek lineáris kombinációjával a tér összes eleme egyértelműen előáll, azaz ha minden ''f'' &isin; ''F''-re léteznek egyértelműen olyan &lambda;<sub>1</sub>, ..., &lambda;<sub>n</sub> számok, hogy
 +
:<math>f=\lambda_1</math><math>f_1</math> + <math>\lambda_2</math><math>f_2</math> + ...+ <math> \lambda_n</math><math>f_n</math>,
 +
ahol  f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub> &isin; ''B''. ''B'' elemszáma a (véges) dimenzió.
  
 
===Példák===
 
===Példák===
'''1.''' Az '''R'''<sup>n</sup> oszlopvektorok vagy az '''R'''<sup>1&times;n</sup> sorvektorok tere a koordinátánkénti összeadással ill. skaláris szorzással. De ugyanígy az m&times;n-es táblázatok, azaz mátrixok '''R'''<sup>m&times;n</sup> tere vektortér. ('''R'''<sup>n</sup> azért fontos, mert az összes véges dimenziós vektortér izomorf vele.)
+
'''1.'''  
 +
:<math>\mathbf{R}^{\mathbf{R}}</math>,
 +
melynek elemeit koordinátarendszerben is tudjuk ábrázolni. Természetesen ez végtelen dimenziós.
 +
 
 +
'''2.''' Az intervallumon korlátos függvények B(I) halmaza altere az előzőnek.
 +
 
 +
'''3.''' A zárt és korlátos intervallumon folytonos függvények C[a,b] tere része az a B[a,b]-nek. Ugyanígy a Riemann integrálható függvények is R[a,b] tere is.
  
'''2.''' Akármilyen H nemüres halmaz és az {f: H <math>\to</math> '''R'''} függvények halmaza vektortér az (<math>f_1</math> + <math>f_2</math>)(x) := <math>f_1</math>(x) + <math>f_2</math>(x) (x&isin; H) pontonkénti összeadással és a(&lambda;<math>f</math>)(x) := &lambda;<math>f_1</math>(x)  (x&isin; H) pontonkénti szorzással. (Például homogén lineáris diffegyenletek megoldásai, azaz bizonyos függvények vektorteret alkotnak.
+
'''4.''' Legyen H = {1,2,3}. Ekkor az {f:H <math>\to</math> '''R'''} halmazt még úgy is meg lehet adni, hogy az elemeit egy rendezett hármasba foglaljuk:
 +
:<math>\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_1,x_2,x_3\in\mathbf{R}\}</math>
 +
Ezt jelöljük '''R'''<sup>3</sup>-nak. '''R'''<sup>3</sup> minden elemét meg lehet adni 3 előre megadott elem lineráis kombinációjaként:
 +
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Ezek alkotják  '''R'''<sup>3</sup> sztenderd bázisát (rendes bázis). Általában '''R'''<sup>n</sup>. Ebbeli függvények analíziséve fogunk foglalkozni.
  
'''3.''' Érdekes terek a sorozatterek illetve a polinomok lineáris tere. Az összes <math>a_0</math> + <math>a_1</math> <math>x</math> + <math>a_2</math> <math>x^2</math> + ... +<math> a_n</math><math>x^n</math> polinomok halmaza lineáris teret alkot. Ez egy végtelen dimenziós vektortér.
+
'''5.''' Legyen '''R'''<sup>2&times;3</sup> a 2-szer 3-as mátrixok tere. Ez szintén lineáris tér az elemenkénti összeadással és a skalárral szorzással. A bázisa 6 elemű.
  
Tulajdonképpen mindegyik eddig ismertetett példa függvénytér. 1.-ben H = {1,2,...,n} az '''R'''<sup>n</sup>-et generálja, vagy az {1,2,...,n} &times; {1,2,...,n} a mátrixok  '''R'''<sup>n&times;n</sup> halmazát. 3.-ban H = '''Z'''<sup>+</sup> és a példa az ezáltal generált tér egy altere.
+
'''6.''' {s:'''Z''' <math>\to</math> '''R'''} azon részhalmaza, mely az egy "idő után konstans nulla" sorozatokból áll (<math>\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}</math>)  (ami azonosítható a polinomok terével). Ez végtelen dimenziós és a báziselemek a hatványfüggvények.
  
 
==Normált tér==
 
==Normált tér==
  
Ha a V vektortéren értelmezünk egy
+
Az N vektortéren értelmezett
:||.||: V <math>\to</math> '''R'''   
+
:||.||: N <math>\to</math> '''R'''   
úgy, hogy
+
függvény norma ''N''-en, ha
# ||v||<math> \geq</math> 0 minden v &isin; V-re és v=0, ha ||v|| = 0.
+
# ||v||<math> \geq</math> 0 minden v &isin; N-re és v=0, ha ||v|| = 0.
# minden &lambda; számra és v &isin; V-re |&lambda;|<math>\cdot</math>||v||=||&lambda;.v||
+
# minden &lambda; számra és v &isin; N-re |&lambda;|<math>\cdot</math>||v||=||&lambda;.v||
 
# ||u + v|| <math>\leq</math> ||u|| + ||v||
 
# ||u + v|| <math>\leq</math> ||u|| + ||v||
  
Hossz azért kell, mert fontos az analítis számára a gömbi környzet, mely, azaz az &epsilon; > 0 sugarú ''a'' &isin; N középpontú nyílt gömb:
+
Ekkor ''N'' a ||.||-val ellátva ''normált tér''.
 +
 
 +
Hossz azért kell, mert fontos az analítis számára a gömbi környzet, azaz az &epsilon; > 0 sugarú ''a'' &isin; ''N'' középpontú nyílt gömb:
  
 
:<math>\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)=\{x\in N\mid ||x-a||< \varepsilon\}</math>
 
:<math>\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)=\{x\in N\mid ||x-a||< \varepsilon\}</math>
63. sor: 102. sor:
  
 
'''Példa.''' Függvénytéren a leggyakoribb norma a szuprémumnorma. Ha B(H,'''R''') a H <math>\to</math> '''R''' korlátos függvények tere, akkor ennek akármilyen alterén norma az
 
'''Példa.''' Függvénytéren a leggyakoribb norma a szuprémumnorma. Ha B(H,'''R''') a H <math>\to</math> '''R''' korlátos függvények tere, akkor ennek akármilyen alterén norma az
:<math>||f||_{\mathrm{sup}}=\sup\limits{x\in H}\{|f(x)|\}</math>  
+
:<math>||f||_{\mathrm{sup}}=\sup_{x\in H}\{|f(x)|\}</math>
Fontos példák: B[a,b] valóban vektortér, C[a,b] &sube; B[a,b] altér a Weierstrass-tétel szerint, R[a,b] &sube; B[a,b] szintén altér amiatt, hogy integrálható függvény korlátos.
+
 
  
 
==Topológia==
 
==Topológia==
  
 
''u'' '''belső pont'''ja ''H''-nak, ha van olyan (gömbi) környezete u-nak, mely teljes egészében ''H''-beli.  ''H'' '''nyílt''' halmaz, ha minden pontja belső pont. ''H'' '''zárt''', ha komplementere, azaz az
 
''u'' '''belső pont'''ja ''H''-nak, ha van olyan (gömbi) környezete u-nak, mely teljes egészében ''H''-beli.  ''H'' '''nyílt''' halmaz, ha minden pontja belső pont. ''H'' '''zárt''', ha komplementere, azaz az
:<math>\mathbf{R}^n\setminus H</math>
+
:<math>N\setminus H</math>
 
halmaz nyílt.  
 
halmaz nyílt.  
 +
 +
'''Tétel.''' Minden véges dimenziós normált tér ekvivalens egymással topologikus szempontból, azaz bármilyik norma ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg.
 +
 +
Célszerű tehát a feladatokban választani például azt a p-edik normát, mellyel a legkönnyebben lehet számolni.
  
 
Világos, hogy '''R'''<sup>n</sup> nyílt halmaz, így ennek komplementere, az üres halmaz zárt. Ám, az üres halmaz nyílt is, hiszen minden pontja belső pont. Ha ugyanis lenne olyan pontja, ami nem belső pontja, akkor lenne egyáltalán pontja, ami lehetetlen, lévén az üres halmaz üres. Így komplementere, azaz '''R'''<sup>n</sup> zárt halmaz is. Tanulság: vannak '''nyílt-zárt''' halmazok (clopen in English) és vannak '''se nem nyílt, se nem zárt''' halmazok, például a [0,1) intervallum. Vagyis "a halmaz '''nem''' ajtó, ami vagy nyílt, vagy zárt"!
 
Világos, hogy '''R'''<sup>n</sup> nyílt halmaz, így ennek komplementere, az üres halmaz zárt. Ám, az üres halmaz nyílt is, hiszen minden pontja belső pont. Ha ugyanis lenne olyan pontja, ami nem belső pontja, akkor lenne egyáltalán pontja, ami lehetetlen, lévén az üres halmaz üres. Így komplementere, azaz '''R'''<sup>n</sup> zárt halmaz is. Tanulság: vannak '''nyílt-zárt''' halmazok (clopen in English) és vannak '''se nem nyílt, se nem zárt''' halmazok, például a [0,1) intervallum. Vagyis "a halmaz '''nem''' ajtó, ami vagy nyílt, vagy zárt"!
  
Véges sok nyílt halmaz metszete nyílt, akármennyi nyílt halmaz uniója nyílt. A zártakra a duális állítás igaz: véges sok zárt halmaz uniója zárt, akárhány zárt halmaz metszete zárt. Adjunk végtelen ellenpéldákat!
+
Véges sok nyílt halmaz metszete nyílt, akármennyi nyílt halmaz uniója nyílt. A zártakra a duális állítás igaz: véges sok zárt halmaz uniója zárt, akárhány zárt halmaz metszete zárt.  
  
==Vektorfüggvények ábrázolása==
+
# Igazoljuk, hogy végtelen sok nyílt halmaz uniója nyílt!
:''Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.'' 
+
# Igazoljuk, hogy véges sok nyílt halmaz metszete nyílt!
'''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az
+
# Adjuk példát végtelen sok nyílt halmazra, amelyek metszete nem nyílt!
*'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú ''felületek'' (kétváltozós, számértékű) és az
+
# Adjuk példát végtelen sok zárt halmazra, amelyek uniója nem zárt!
*'''R''' <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> típusú ''tér-'' vagy '''R''' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> típusú ''síkgörbék'' (egyváltozós, vektorértékű).
+
Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy  kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).
+
  
1) Példa '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' ábrázolására az
+
==Kiegészítő anyag==
:<math>z=F(x,y)=x^3-xy^2\,</math>
+
egyenletű majomnyereg felület:
+
:[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Monkey_Saddle_Surface_%28Shaded%29.png]
+
:<gnuplot>
+
set pm3d
+
set size 0.8,0.8
+
set xrange [-1:1]
+
set yrange [-1:1]
+
set zrange [-2:2]
+
set view 50,30,1,1
+
unset xtics
+
unset ytics
+
unset ztics
+
unset key
+
unset colorbox
+
splot x**3-3*x*y**2
+
</gnuplot>
+
Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).
+
  
2) Szintvonalak. Az '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' ill. '''R'''<sup>3</sup> <math>\to</math> '''R'''  típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:
+
===Heine--Borel-tételkör===
* Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
+
'''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t.  
::[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Cntr-map-1.jpg]
+
* Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.
+
  
3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a
+
'''Heine-Borel-tétel.''' Véges dimenziós normált térben minden korlátos és zárt halmaz kompakt.
:[http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Viviani_curve.png]
+
ábra mutat és amely a
+
:<math>f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}</math>
+
függvény által van meghatározva.
+
<gnuplot>
+
set size 0.8,0.8
+
set parametric
+
set urange [-2*pi:2*pi]
+
unset colorbox
+
unset key
+
unset xtics
+
unset ytics
+
unset ztics
+
splot 1+sin(u),cos(u),2*sin(u/2)
+
</gnuplot>
+
  
==Topologikus alapfogalmak==
+
'''R'''<sup>n</sup> véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis <math>\mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})}</math> a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
===Metrika és norma===
+
:<math>||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}</math>  
'''R'''<sup>n</sup>-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az '''R'''<sup>n</sup> két tetszőleges pontja, akkor
+
'''Példa.'''
:<math>\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}</math>
+
:<math>H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}</math>  
Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:
+
"gömb" zárt, korlátos, de nem kompakt.
:<math>||a||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}</math>
+
majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:
+
:<math>\mathrm{d}_2(a,b)=||b-a||_2\,</math>
+
Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges ''p'' pozitív számra
+
:<math>||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}</math>
+
szintén norma (p=2-re az euklidészi). Hasznos sokszor a szuprémum vagy maximumnorma is:
+
:<math>||a||_\infty=\max\limits_{i=1}^{n}\{|a_i|\}</math>
+
  
 +
''Ugyanis,'' Nyilván korlátos, mert belefoglalható a B<sub>2</sub>(0) kétség sugarú 0 körüli gömbbe. Zárt is, ehhez nézzük a komplementerét! Ha ||s||> 1, az pontosan azt jelenti, hogy sup s >1, azaz létezik olyan &epsilon;>0, hogy minden ''n''-re |s(n)| > 1+ &epsilon;. Pozitív s(n)-re vegyük az s(n)>(s(n)+1+&epsilon;)/2 > 1+&epsilon;, negatív tagokra az s(n)<(s(n)+(-1-epsilon))/2<-1-&epsilon; elemekből álló ''t'' sorozatot. Ez a komplementerben halad, mert sup |''t''| > 1+(&epsilon;/2).
  
==Feladatok==
+
De nem kompakt. Fedjük le ugyanis a
===1.===
+
:<math>H_n:=\{s\mid |s(k)|<2,\;\; ha\; \;k<n,\;\;\mathrm{sup}_{k>n}|s(k)|<1/2 \}</math>
Adjuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és szemléltessük 3D-s ábrán és szintvonalakkal
+
halmazokkal! Ezek nyíltak, de véges sok nem fedi le H-t.
:<math>f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\,</math>
+
====Megoldás====
+
Az ln:'''R'''<sup>+</sup> <math>\to</math>'''R''' függvény a pozitív valós számokon értelmezett, így:
+
:<math>\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid x^2+y^2>0\}=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}</math>
+
A polárkoordináta transzformáció hasznos a szintvonalak feltárásában. Adott ''c'' &isin; '''R''' számra az f(x,y)=c egyenlőségnek eleget tévő pontok halmaza:
+
: <math>[f=c]=\{(x,y)\in \mathrm{Dom}(f)\mid \ln(x^2+y^2)=c\}=</math>
+
: <math>=\{(x,y)\in \mathrm{Dom}(f)\mid ||(x,y)||=\sqrt{e^c}\}</math>
+
vagyis egy origó körüli négyzetgyök e<sup>c</sup> sugarú kör.  
+
  
A szintvonalak tehát körök. Hogy milyen sűrűn vannak (azaz hol meredekebb és hol lankásabb a felület), azt a z=f(r) függvény mondja meg, ahol <math>\mbox{ }_{r=\sqrt{x^2+y^2}}</math>
+
Hasonló furcsaságok jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok <math>\mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})}</math> terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező <math>\mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})}</math> tér bír jelentőséggel.
:<math>f(r,\varphi)=\ln r^2=2\cdot \ln r</math>
+
Azaz f valóban független a &phi; iránytól és az r-z függvény egy logaritmusfüggvény, melynek körbeforgatásával keletkezik a felület. Az ábrából tényleg ez derül ki:
+
:<gnuplot>
+
set pm3d
+
set size 0.8,0.8
+
set xrange [-1:1]
+
set yrange [-1:1]
+
set zrange [-5:5]
+
set view 50,30,1,2
+
unset xtics
+
unset ytics
+
unset ztics
+
unset key
+
unset colorbox
+
splot log(x*x+y*y)
+
</gnuplot>
+
===2.===
+
Adjuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és szemléltessük 3D-s ábrán és szintvonalakkal
+
:<math>f(x,y)=\frac{x}{y}\,</math>
+
====Megoldás====
+
===3.===
+
Ábrázoljuk az '''R'''<sup>2</sup>-beli maximumnorma szerinti origóközéppontú egységsugarú zárt gömböt.
+
====Megoldás====
+
===4.===
+
Adjuk példát:
+
  
a) végtelen sok nyílt halmazra, amelyek metszete nem nyílt
 
  
b) végtelen sok zárt halmazra, amelyek uniója nem zárt 
+
===Feladatok skaláris szorzásra===
====Megoldás====
+
Euklideszi terek
==Házi feladat==
+
 
===1.===
+
Csak megjegyezzük, hogy ha egy vektortéren be lehet vezetni skaláris szorzatot, abban az értelmeben, ahogy az a top.pdf-en le van írva, akkor rögvest eljutunk a normához.
Adjuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és szemléltessük 3D-s ábrán és szintvonalakkal
+
 
:<math>f(x,y)=xy\,</math>
+
'''Példa.''' Ha v,u &isin; '''R'''<sup>n</sup>, akkor
===2.===
+
:<math>v\cdot u = \sum\limits_{i=1}^nv_iu_i\,</math>
 +
Ekkor
 +
:<math>||v||_2=\sqrt{|v\cdot v|}\,</math>
 +
 
 +
'''Példa.'''
 +
 
 
Legyen (a<sub>n</sub>), (b<sub>n</sub>) : '''Z'''<sup>+</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>N</sup> és 0 nem eleme Ran(||b<sub>n</sub>||). Melyikből következik melyik:
 
Legyen (a<sub>n</sub>), (b<sub>n</sub>) : '''Z'''<sup>+</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>N</sup> és 0 nem eleme Ran(||b<sub>n</sub>||). Melyikből következik melyik:
 
:(i) <math>(a_n\cdot b_n)\,</math> korlátos '''és''' <math>\frac{a_n}{||b_n||}</math> korlátos
 
:(i) <math>(a_n\cdot b_n)\,</math> korlátos '''és''' <math>\frac{a_n}{||b_n||}</math> korlátos
195. sor: 166. sor:
  
 
Itt <math>(a_nb_n)</math> a sorozatok elemeinek skaláris szorzatából készített sorozat.
 
Itt <math>(a_nb_n)</math> a sorozatok elemeinek skaláris szorzatából készített sorozat.
====Megoldás====
+
 
 +
Megoldás
 
:(i) <math>\not\Rightarrow</math> (ii)  
 
:(i) <math>\not\Rightarrow</math> (ii)  
 
ugyanis az ellenpélda már '''R'''-ben jelentkezik: (a<sub>n</sub>) = (0,0,0,...,0,...) és (b<sub>n</sub>) = (1,2,3, ...,n,...). Világos, hogy a szorzat és a hányados is korlátos, mert mindkettő az azonosan nulla, holott  (b<sub>n</sub>) az Archimédészi axióma miatt nem korlátos.
 
ugyanis az ellenpélda már '''R'''-ben jelentkezik: (a<sub>n</sub>) = (0,0,0,...,0,...) és (b<sub>n</sub>) = (1,2,3, ...,n,...). Világos, hogy a szorzat és a hányados is korlátos, mert mindkettő az azonosan nulla, holott  (b<sub>n</sub>) az Archimédészi axióma miatt nem korlátos.
213. sor: 185. sor:
 
De '''R'''<sup>2</sup>-ben már nem igaz: (<math>a_n</math>) = ((n,0)), (<math>b_n</math>) = ((0,n)). Ezek skaláris szorzata 0, az első osztva a második elemenkénti normájával az y irányú egységvektor, mint konstans sorozatot adja.
 
De '''R'''<sup>2</sup>-ben már nem igaz: (<math>a_n</math>) = ((n,0)), (<math>b_n</math>) = ((0,n)). Ezek skaláris szorzata 0, az első osztva a második elemenkénti normájával az y irányú egységvektor, mint konstans sorozatot adja.
  
 
===3.===
 
:<math>\int\limits_0^{2\pi}\sin(x)\cos(x)\,\mathrm{d}x=?</math>
 
 
<center>
 
<center>
 +
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
|- bgcolor="#efefef"
 
|- bgcolor="#efefef"

A lap 2017. február 8., 15:59-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Többváltozós bemelegítés

Oldja meg az

\begin{matrix}
x_1+2x_2+3x_3+2x_4&=&1 \\
\quad \;\; x_2+x_3+x_4&=& 2\\
x_1+3x_2+4x_3+3x_4&=&3 \\
2x_1+5x_2+7x_3+5x_4&=&4
\end{matrix}

egyenletrendszert!

MO. A kibővített mátrix:

\begin{bmatrix} 
1 & 2 & 3 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
1 & 3 & 4 & 3 & 3\\
2 & 5 & 7 & 5 & 4\\
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}

Ez utóbbit hívják lépcsős alaknak. Ha most a főátlóba egyeseket teszünk (vezérelemek) és fölöttük alattuk csak nullák állnak (a többi maradhat), akkor a redukált lépcsős alakhoz jutunk.

\sim
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}

Innen a megoldás (az x3 és x4 változókat rendre az s és t paramétereknek választva)

\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3-s\\ 2-s-t\\s\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\ 2\\0\\0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}-1\\ -1\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}0\\ -1\\0\\1\end{bmatrix}

Függvénytér

A félév során gyakran fogunk találkozni olyan lineáris terekkel (a lineáris tér fogalmát az előadáson tanuljuk meg), melyek elemei függvények. Ezeknek alaptípusa a következő. Legyen H tetszőleges halmaz. Ekkor a

\{f:H\to \mathbf{R}\}=_\mathrm{def}\mathbf{R}^H\,(=\mathcal{F}(H))

halmazt, azaz a H-n értelmezett R-be képező függvények halmazát függvénytérnek nevezzük. A függvénytér lineáris tér a pontonként műveletekkel, azaz a következőkkel:

f+g:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto f(x)+g(x)\,

ha λ valós szám, akkor

\lambda.f:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto \lambda.f(x)\,

Függvénytér lineáris alterét is függvénytérnek nevezzük. Lineáris altér egy lineáris tér részhalmaza, ha a fenti műveletekre zárt.

Feledat. a) Keressünk olyan nF(H)-t, melyre minden f esetén n+f=f+n=f! b) Keressünk minden fF(H)-hez olyan g-t, melyre az előző (egyébként egyértelmű) nF(H)-nel f+g=g+f=n teljesül! c) Igazoljuk, hogy minden f, gF(H)-re λ(f + g) = λf + λg, (λ + μ)f = λf + μf, λ(μf) = (λμ)f, 1.f = f!

Az F függvénytér B részhalmaza bázis, ha B-beli elemek lineáris kombinációjával a tér összes eleme egyértelműen előáll, azaz ha minden fF-re léteznek egyértelműen olyan λ1, ..., λn számok, hogy

f = λ1f1 + λ2f2 + ...+ λnfn,

ahol f1, ..., fnB. B elemszáma a (véges) dimenzió.

Példák

1.

\mathbf{R}^{\mathbf{R}},

melynek elemeit koordinátarendszerben is tudjuk ábrázolni. Természetesen ez végtelen dimenziós.

2. Az intervallumon korlátos függvények B(I) halmaza altere az előzőnek.

3. A zárt és korlátos intervallumon folytonos függvények C[a,b] tere része az a B[a,b]-nek. Ugyanígy a Riemann integrálható függvények is R[a,b] tere is.

4. Legyen H = {1,2,3}. Ekkor az {f:H \to R} halmazt még úgy is meg lehet adni, hogy az elemeit egy rendezett hármasba foglaljuk:

\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_1,x_2,x_3\in\mathbf{R}\}

Ezt jelöljük R3-nak. R3 minden elemét meg lehet adni 3 előre megadott elem lineráis kombinációjaként: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Ezek alkotják R3 sztenderd bázisát (rendes bázis). Általában Rn. Ebbeli függvények analíziséve fogunk foglalkozni.

5. Legyen R2×3 a 2-szer 3-as mátrixok tere. Ez szintén lineáris tér az elemenkénti összeadással és a skalárral szorzással. A bázisa 6 elemű.

6. {s:Z \to R} azon részhalmaza, mely az egy "idő után konstans nulla" sorozatokból áll (\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}) (ami azonosítható a polinomok terével). Ez végtelen dimenziós és a báziselemek a hatványfüggvények.

Normált tér

Az N vektortéren értelmezett

||.||: N \to R

függvény norma N-en, ha

  1. ||v|| \geq 0 minden v ∈ N-re és v=0, ha ||v|| = 0.
  2. minden λ számra és v ∈ N-re |λ|\cdot||v||=||λ.v||
  3. ||u + v|| \leq ||u|| + ||v||

Ekkor N a ||.||-val ellátva normált tér.

Hossz azért kell, mert fontos az analítis számára a gömbi környzet, azaz az ε > 0 sugarú aN középpontú nyílt gömb:

\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)=\{x\in N\mid ||x-a||< \varepsilon\}

Példa. A főpéldán, az R3-en, ez az euklideszi vektorhossz, azaz a Pithagorasz-tételből kiszámítható

||v||=|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}

Példa. Két lényeges Rn-beli norma.

  1. p>0, akkor ||v||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^n |v_i|^p\right)^{1/p}
  2. ||v||_{\mathrm{max}}=\max\limits_{i=1}^n\{|v_i|\}

Érdemes megnézni, hogy a gömbök R2-ben hogy néznek ki. ||.||1 esetén a gömb egy csúcsára állított négyzet 2 ε átlóval. ||.||max egy oldalára állított négyzet. ||.||2pedig egy körlap.

Példa. Függvénytéren a leggyakoribb norma a szuprémumnorma. Ha B(H,R) a H \to R korlátos függvények tere, akkor ennek akármilyen alterén norma az

||f||_{\mathrm{sup}}=\sup_{x\in H}\{|f(x)|\}


Topológia

u belső pontja H-nak, ha van olyan (gömbi) környezete u-nak, mely teljes egészében H-beli. H nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. H zárt, ha komplementere, azaz az

N\setminus H

halmaz nyílt.

Tétel. Minden véges dimenziós normált tér ekvivalens egymással topologikus szempontból, azaz bármilyik norma ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg.

Célszerű tehát a feladatokban választani például azt a p-edik normát, mellyel a legkönnyebben lehet számolni.

Világos, hogy Rn nyílt halmaz, így ennek komplementere, az üres halmaz zárt. Ám, az üres halmaz nyílt is, hiszen minden pontja belső pont. Ha ugyanis lenne olyan pontja, ami nem belső pontja, akkor lenne egyáltalán pontja, ami lehetetlen, lévén az üres halmaz üres. Így komplementere, azaz Rn zárt halmaz is. Tanulság: vannak nyílt-zárt halmazok (clopen in English) és vannak se nem nyílt, se nem zárt halmazok, például a [0,1) intervallum. Vagyis "a halmaz nem ajtó, ami vagy nyílt, vagy zárt"!

Véges sok nyílt halmaz metszete nyílt, akármennyi nyílt halmaz uniója nyílt. A zártakra a duális állítás igaz: véges sok zárt halmaz uniója zárt, akárhány zárt halmaz metszete zárt.

  1. Igazoljuk, hogy végtelen sok nyílt halmaz uniója nyílt!
  2. Igazoljuk, hogy véges sok nyílt halmaz metszete nyílt!
  3. Adjuk példát végtelen sok nyílt halmazra, amelyek metszete nem nyílt!
  4. Adjuk példát végtelen sok zárt halmazra, amelyek uniója nem zárt!

Kiegészítő anyag

Heine--Borel-tételkör

Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

Heine-Borel-tétel. Véges dimenziós normált térben minden korlátos és zárt halmaz kompakt.

Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis \mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})} a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}

Példa.

H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}

"gömb" zárt, korlátos, de nem kompakt.

Ugyanis, Nyilván korlátos, mert belefoglalható a B2(0) kétség sugarú 0 körüli gömbbe. Zárt is, ehhez nézzük a komplementerét! Ha ||s||> 1, az pontosan azt jelenti, hogy sup s >1, azaz létezik olyan ε>0, hogy minden n-re |s(n)| > 1+ ε. Pozitív s(n)-re vegyük az s(n)>(s(n)+1+ε)/2 > 1+ε, negatív tagokra az s(n)<(s(n)+(-1-epsilon))/2<-1-ε elemekből álló t sorozatot. Ez a komplementerben halad, mert sup |t| > 1+(ε/2).

De nem kompakt. Fedjük le ugyanis a

H_n:=\{s\mid |s(k)|<2,\;\; ha\; \;k<n,\;\;\mathrm{sup}_{k>n}|s(k)|<1/2 \}

halmazokkal! Ezek nyíltak, de véges sok nem fedi le H-t.

Hasonló furcsaságok jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok \mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})} terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező \mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})} tér bír jelentőséggel.


Feladatok skaláris szorzásra

Euklideszi terek

Csak megjegyezzük, hogy ha egy vektortéren be lehet vezetni skaláris szorzatot, abban az értelmeben, ahogy az a top.pdf-en le van írva, akkor rögvest eljutunk a normához.

Példa. Ha v,u ∈ Rn, akkor

v\cdot u = \sum\limits_{i=1}^nv_iu_i\,

Ekkor

||v||_2=\sqrt{|v\cdot v|}\,

Példa.

Legyen (an), (bn) : Z+ \to RN és 0 nem eleme Ran(||bn||). Melyikből következik melyik:

(i) (a_n\cdot b_n)\, korlátos és \frac{a_n}{||b_n||} korlátos
(ii) (an) korlátos és (bn) is korlátos
(iii) (an) korlátos vagy (bn) korlátos

Itt (anbn) a sorozatok elemeinek skaláris szorzatából készített sorozat.

Megoldás

(i) \not\Rightarrow (ii)

ugyanis az ellenpélda már R-ben jelentkezik: (an) = (0,0,0,...,0,...) és (bn) = (1,2,3, ...,n,...). Világos, hogy a szorzat és a hányados is korlátos, mert mindkettő az azonosan nulla, holott (bn) az Archimédészi axióma miatt nem korlátos.

(ii) \not\Rightarrow (i)

Szintén már R-ben jelentkezik az ellenpélda:

a_n=\frac{1}{n},\quad\quad b_n=\frac{1}{n^2}

mindekettő korlátos, és még a szorzat is, de a hányados már nem.

(ii) \Rightarrow (iii) tisztán logikai okokból
(iii) \not\Rightarrow (ii) azt nem állítanám hogy tisztán logikai okokból, de az adott szituációban mindenképpen. Magyarán ellenpélda kell: az egyik a csupanulla, a másik az (n).
(iii) \not\Rightarrow (i) már R-ben sem: csupanulla, (n)
(i) \not\Rightarrow (iii)

A legérdekesebb eset. R-ben igaz, magasabb dimenzióban nem, tehát összességében nem. R-ben:

|a_nb_n| < K\quad\quad \frac{|a_n|}{|b_n|}<L

akkor

a_n^2<KL\,

amiből az egyik, azaz (an) korlátos. De R2-ben már nem igaz: (an) = ((n,0)), (bn) = ((0,n)). Ezek skaláris szorzata 0, az első osztva a második elemenkénti normájával az y irányú egységvektor, mint konstans sorozatot adja.

2. gyakorlat
Személyes eszközök