Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Nyílt és zárt halmazok)
(Normált tér)
65. sor: 65. sor:
 
:<math>||f||_{\mathrm{sup}}=\sup\limits{x\in H}\{|f(x)|\}</math>  
 
:<math>||f||_{\mathrm{sup}}=\sup\limits{x\in H}\{|f(x)|\}</math>  
 
Fontos példák: B[a,b] valóban vektortér, C[a,b] &sube; B[a,b] altér a Weierstrass-tétel szerint, R[a,b] &sube; B[a,b] szintén altér amiatt, hogy integrálható függvény korlátos.
 
Fontos példák: B[a,b] valóban vektortér, C[a,b] &sube; B[a,b] altér a Weierstrass-tétel szerint, R[a,b] &sube; B[a,b] szintén altér amiatt, hogy integrálható függvény korlátos.
 +
 +
==Topológia==
 +
 +
''u'' '''belső pont'''ja ''H''-nak, ha van olyan (gömbi) környezete u-nak, mely teljes egészében ''H''-beli.  ''H'' '''nyílt''' halmaz, ha minden pontja belső pont. ''H'' '''zárt''', ha komplementere, azaz az
 +
:<math>\mathbf{R}^n\setminus H</math>
 +
halmaz nyílt.
 +
 +
Világos, hogy '''R'''<sup>n</sup> nyílt halmaz, így ennek komplementere, az üres halmaz zárt. Ám, az üres halmaz nyílt is, hiszen minden pontja belső pont. Ha ugyanis lenne olyan pontja, ami nem belső pontja, akkor lenne egyáltalán pontja, ami lehetetlen, lévén az üres halmaz üres. Így komplementere, azaz '''R'''<sup>n</sup> zárt halmaz is. Tanulság: vannak '''nyílt-zárt''' halmazok (clopen in English) és vannak '''se nem nyílt, se nem zárt''' halmazok, például a [0,1) intervallum. Vagyis "a halmaz '''nem''' ajtó, ami vagy nyílt, vagy zárt"!
 +
 +
Véges sok nyílt halmaz metszete nyílt, akármennyi nyílt halmaz uniója nyílt. A zártakra a duális állítás igaz: véges sok zárt halmaz uniója zárt, akárhány zárt halmaz metszete zárt. Adjunk végtelen ellenpéldákat!
  
 
==Vektorfüggvények ábrázolása==
 
==Vektorfüggvények ábrázolása==

A lap 2009. február 12., 21:18-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre. A meghatározottság kedvéért Rn-en a

\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}:x_1,x_2,...,x_n\in \mathbf{R}\right\}

halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy R saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineáris algebra szempontjából nem kerülendő.)

Amivel foglalkozunk -- vázlatosan -- azok a következő struktúrák:

  • vektortér: (V, +, λ._)λ∈ R azaz a vektorok, ahol tehát van az elemek köztük "összeadás" és valós számmal történő szorzás
  • normált tér: N = (V, ||.||) azaz, ahol már vektorok "hosszát" is értelmezzük
  • euklideszi tér: E = (V, \cdot) , azaz ahol van "skaláris szorzás" és ebből származtatható a vektorhossz.
  • topológia N felett azaz a környzet és nyilt halmazok fogalma normált téren

Tartalomjegyzék

Lineáris tér

Volt R3 vektorgeometriájában, hogy a vektorok összadása és skalárral (valós számmal) való szorzása komponensenként történik. A továbbiakban egy magasabb nézőpontból az összeadásnak és a számmal való szorzásnak kiemelünk néhány tulajdonságát és elfeledkezünk arról, hogy ezeknek mi volt a konkrét definíciója. Ezután olyan halmazokat és műveleteket keresünk, melyek esetén a kiemelt "képletek" teljesülnek. A kiemelt tulajdonságok lányegében azok lesznek, hogy az összeadás "valóban" összeadásként viselkedik, a szorzás pedig "valóban" szorzásként.

Az L halmaz lineáris tér a +:L×L \to L összeadással és .:R×L \to L valós számmal szorzással, ha létezik L-ben egy 0 elem és minden L-beli x-hez olyan (-x) szintén L-beli elem, hogy teljesülnek a következő tuljadonságok:

  1. x + y = y + x
  2. (x + y) + z = x + (y + z)
  3. 0 + x = x + 0 = x
  4. (-x) + x = x + (-x) = 0
  5. λ.(μ.x) = (λμ).x
  6. λ.(x + y) = λ.x + μ.y
  7. (λ+μ).x = λ.x + μ.x
  8. 1.x = x

minden x,y L-belire és λ, μ R-belire. Az ilyet valós test feletti lineáris térnek, vagy vektortérnek is nevezik.

Két lényeges fogalom. Lineáris kombináció:

λ1x1 + λ2x2 + ...+ λnxn.

Dimenzió: hány előre megadott vektor lineáris kombinációjából áll elő egyértelműen a tér bármely vektora. Ez utóbbi fogalmat persze még erősen finomítani kell.

Példák

1. Az Rn oszlopvektorok vagy az R1×n sorvektorok tere a koordinátánkénti összeadással ill. skaláris szorzással. De ugyanígy az m×n-es táblázatok, azaz mátrixok Rm×n tere vektortér. (Rn azért fontos, mert az összes véges dimenziós vektortér izomorf vele.)

2. Akármilyen H nemüres halmaz és az {f: H \to R} függvények halmaza vektortér az (f1 + f2)(x) := f1(x) + f2(x) (x∈ H) pontonkénti összeadással és a(λf)(x) := λf1(x) (x∈ H) pontonkénti szorzással. (Például homogén lineáris diffegyenletek megoldásai, azaz bizonyos függvények vektorteret alkotnak.)

3. Érdekes terek a sorozatterek illetve a polinomok lineáris tere. Az összes a0 + a1 x + a2 x2 + ... +anxn polinomok halmaza lineáris teret alkot. Ez egy végtelen dimenziós vektortér.

Tulajdonképpen mindegyik eddig ismertetett példa függvénytér. 1.-ben H = {1,2,...,n} az Rn-et generálja, vagy az {1,2,...,n} × {1,2,...,n} a mátrixok Rn×n halmazát. 3.-ban H = Z+ és a példa az ezáltal generált tér egy altere.

Normált tér

Ha a V vektortéren értelmezünk egy

||.||: V \to R

úgy, hogy

  1. ||v|| \geq 0 minden v ∈ V-re és v=0, ha ||v|| = 0.
  2. minden λ számra és v ∈ V-re |λ|\cdot||v||=||λ.v||
  3. ||u + v|| \leq ||u|| + ||v||

Hossz azért kell, mert fontos az analítis számára a gömbi környzet, mely, azaz az ε > 0 sugarú a ∈ N középpontú nyílt gömb:

\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)=\{x\in N\mid ||x-a||< \varepsilon\}

Példa. A főpéldán, az R3-en, ez az euklideszi vektorhossz, azaz a Pithagorasz-tételből kiszámítható

||v||=|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}

Példa. Két lényeges Rn-beli norma.

  1. p>0, akkor ||v||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^n |v_i|^p\right)^{1/p}
  2. ||v||_{\mathrm{max}}=\max\limits_{i=1}^n\{|v_i|\}

Érdemes megnézni, hogy a gömbök R2-ben hogy néznek ki. ||.||1 esetén a gömb egy csúcsára állított négyzet 2 ε átlóval. ||.||max egy oldalára állított négyzet. ||.||2pedig egy körlap.

Példa. Függvénytéren a leggyakoribb norma a szuprémumnorma. Ha B(H,R) a H \to R korlátos függvények tere, akkor ennek akármilyen alterén norma az

||f||_{\mathrm{sup}}=\sup\limits{x\in H}\{|f(x)|\}

Fontos példák: B[a,b] valóban vektortér, C[a,b] ⊆ B[a,b] altér a Weierstrass-tétel szerint, R[a,b] ⊆ B[a,b] szintén altér amiatt, hogy integrálható függvény korlátos.

Topológia

u belső pontja H-nak, ha van olyan (gömbi) környezete u-nak, mely teljes egészében H-beli. H nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. H zárt, ha komplementere, azaz az

\mathbf{R}^n\setminus H

halmaz nyílt.

Világos, hogy Rn nyílt halmaz, így ennek komplementere, az üres halmaz zárt. Ám, az üres halmaz nyílt is, hiszen minden pontja belső pont. Ha ugyanis lenne olyan pontja, ami nem belső pontja, akkor lenne egyáltalán pontja, ami lehetetlen, lévén az üres halmaz üres. Így komplementere, azaz Rn zárt halmaz is. Tanulság: vannak nyílt-zárt halmazok (clopen in English) és vannak se nem nyílt, se nem zárt halmazok, például a [0,1) intervallum. Vagyis "a halmaz nem ajtó, ami vagy nyílt, vagy zárt"!

Véges sok nyílt halmaz metszete nyílt, akármennyi nyílt halmaz uniója nyílt. A zártakra a duális állítás igaz: véges sok zárt halmaz uniója zárt, akárhány zárt halmaz metszete zárt. Adjunk végtelen ellenpéldákat!

Vektorfüggvények ábrázolása

Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.

Rn \to Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az

  • R2 \to R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
  • R \to R3 típusú tér- vagy R \to R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).

Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).

1) Példa R2 \to R ábrázolására az

z=F(x,y)=x^3-xy^2\,

egyenletű majomnyereg felület:

[1]
 set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorbox splot x**3-3*x*y**2

Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).

2) Szintvonalak. Az R2 \to R ill. R3 \to R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:

  • Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 \to R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
[2]
  • Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.

3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a

[3]

ábra mutat és amely a

f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}

függvény által van meghatározva.

set size 0.8,0.8
set parametric
set urange [-2*pi:2*pi]
unset colorbox
unset key
unset xtics
unset ytics
unset ztics
splot 1+sin(u),cos(u),2*sin(u/2)

Topologikus alapfogalmak

Metrika és norma

Rn-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az Rn két tetszőleges pontja, akkor

\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}

Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:

||a||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}

majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:

\mathrm{d}_2(a,b)=||b-a||_2\,

Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges p pozitív számra

||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}

szintén norma (p=2-re az euklidészi). Hasznos sokszor a szuprémum vagy maximumnorma is:

||a||_\infty=\max\limits_{i=1}^{n}\{|a_i|\}


Feladatok

1.

Adjuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és szemléltessük 3D-s ábrán és szintvonalakkal

f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\,

Megoldás

Az ln:R+ \toR függvény a pozitív valós számokon értelmezett, így:

\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid x^2+y^2>0\}=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}

A polárkoordináta transzformáció hasznos a szintvonalak feltárásában. Adott cR számra az f(x,y)=c egyenlőségnek eleget tévő pontok halmaza:

[f=c]=\{(x,y)\in \mathrm{Dom}(f)\mid \ln(x^2+y^2)=c\}=
=\{(x,y)\in \mathrm{Dom}(f)\mid ||(x,y)||=\sqrt{e^c}\}

vagyis egy origó körüli négyzetgyök ec sugarú kör.

A szintvonalak tehát körök. Hogy milyen sűrűn vannak (azaz hol meredekebb és hol lankásabb a felület), azt a z=f(r) függvény mondja meg, ahol \mbox{ }_{r=\sqrt{x^2+y^2}}

f(r,\varphi)=\ln r^2=2\cdot \ln r

Azaz f valóban független a φ iránytól és az r-z függvény egy logaritmusfüggvény, melynek körbeforgatásával keletkezik a felület. Az ábrából tényleg ez derül ki:

 set pm3d
set size 0.8,0.8
set xrange [-1:1]
set yrange [-1:1]
set zrange [-5:5]
set view 50,30,1,2
unset xtics 
unset ytics
unset ztics
unset key
unset colorbox
splot log(x*x+y*y)

2.

Adjuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és szemléltessük 3D-s ábrán és szintvonalakkal

f(x,y)=\frac{x}{y}\,

Megoldás

3.

Ábrázoljuk az R2-beli maximumnorma szerinti origóközéppontú egységsugarú zárt gömböt.

Megoldás

4.

Adjuk példát:

a) végtelen sok nyílt halmazra, amelyek metszete nem nyílt

b) végtelen sok zárt halmazra, amelyek uniója nem zárt

Megoldás

Házi feladat

1.

Adjuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és szemléltessük 3D-s ábrán és szintvonalakkal

f(x,y)=xy\,

2.

Legyen (an), (bn) : Z+ \to RN és 0 nem eleme Ran(||bn||). Melyikből következik melyik:

(i) (a_n\cdot b_n)\, korlátos és \frac{a_n}{||b_n||} korlátos
(ii) (an) korlátos és (bn) is korlátos
(iii) (an) korlátos vagy (bn) korlátos

Itt (anbn) a sorozatok elemeinek skaláris szorzatából készített sorozat.

Megoldás

(i) \not\Rightarrow (ii)

ugyanis az ellenpélda már R-ben jelentkezik: (an) = (0,0,0,...,0,...) és (bn) = (1,2,3, ...,n,...). Világos, hogy a szorzat és a hányados is korlátos, mert mindkettő az azonosan nulla, holott (bn) az Archimédészi axióma miatt nem korlátos.

(ii) \not\Rightarrow (i)

Szintén már R-ben jelentkezik az ellenpélda:

a_n=\frac{1}{n},\quad\quad b_n=\frac{1}{n^2}

mindekettő korlátos, és még a szorzat is, de a hányados már nem.

(ii) \Rightarrow (iii) tisztán logikai okokból
(iii) \not\Rightarrow (ii) azt nem állítanám hogy tisztán logikai okokból, de az adott szituációban mindenképpen. Magyarán ellenpélda kell: az egyik a csupanulla, a másik az (n).
(iii) \not\Rightarrow (i) már R-ben sem: csupanulla, (n)
(i) \not\Rightarrow (iii)

A legérdekesebb eset. R-ben igaz, magasabb dimenzióban nem, tehát összességében nem. R-ben:

|a_nb_n| < K\quad\quad \frac{|a_n|}{|b_n|}<L

akkor

a_n^2<KL\,

amiből az egyik, azaz (an) korlátos. De R2-ben már nem igaz: (an) = ((n,0)), (bn) = ((0,n)). Ezek skaláris szorzata 0, az első osztva a második elemenkénti normájával az y irányú egységvektor, mint konstans sorozatot adja.


3.

\int\limits_0^{2\pi}\sin(x)\cos(x)\,\mathrm{d}x=?
2. gyakorlat
Személyes eszközök