Matematika A2a 2008/1. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Vektorfüggvények ábrázolása) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vektorfüggvények ábrázolása) |
||
| 9. sor: | 9. sor: | ||
Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák). | Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák). | ||
| − | + | 1) Példa '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' ábrázolására az | |
:<math>z=F(x,y)=x^3-xy^2\,</math> | :<math>z=F(x,y)=x^3-xy^2\,</math> | ||
egyenletű majomnyereg felület: | egyenletű majomnyereg felület: | ||
| 15. sor: | 15. sor: | ||
Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y). | Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y). | ||
| − | Az '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' ill. '''R'''<sup>3</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák: | + | 2) Szintvonalak. Az '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' ill. '''R'''<sup>3</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák: |
* Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve: | * Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve: | ||
::[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Cntr-map-1.jpg] | ::[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Cntr-map-1.jpg] | ||
* Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki. | * Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki. | ||
| − | Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a | + | 3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a |
:[http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Viviani_curve.png] | :[http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Viviani_curve.png] | ||
ábra mutat és amely a | ábra mutat és amely a | ||
:<math>f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}</math> | :<math>f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}</math> | ||
függvény által van meghatározva. | függvény által van meghatározva. | ||
A lap 2008. január 31., 16:47-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre.
Előzetes
Vektorfüggvények ábrázolása
- Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.
Rn 
Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az
- R2 R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
- R R3 típusú tér- vagy R R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).
Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).
1) Példa R2 R ábrázolására az
egyenletű majomnyereg felület:
Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).
2) Szintvonalak. Az R2 R ill. R3 R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:
- Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
- Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.
3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a
ábra mutat és amely a
![f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}](/upload/math/a/1/b/a1b13849fc54d335b56a736e1128a6c2.png)
függvény által van meghatározva.
![[1]](http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Monkey_Saddle_Surface_%28Shaded%29.png){kind=link}
![[2]](http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Cntr-map-1.jpg){kind=link}
![[3]](http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Viviani_curve.png){kind=link}