Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Topologikus alapfogalmak)
3. sor: 3. sor:
 
:<math>\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}:x_1,x_2,...,x_n\in \mathbf{R}\right\}</math>
 
:<math>\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}:x_1,x_2,...,x_n\in \mathbf{R}\right\}</math>
 
halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy '''R''' saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineéris algebra szempontjából nem kerülendő.)
 
halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy '''R''' saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineéris algebra szempontjából nem kerülendő.)
−
==Előzetes==
+
 
−
===Vektorfüggvények ábrázolása===
+
==Vektorfüggvények ábrázolása==
 
:''Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.''   
 
:''Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.''   
 
'''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az  
 
'''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az  
27. sor: 27. sor:
 
:<math>f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}</math>
 
:<math>f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}</math>
 
függvény által van meghatározva.
 
függvény által van meghatározva.
−
===Topologikus alapfogalmak===
+
==Topologikus alapfogalmak==
 +
===Metrika és norma===
 
'''R'''<sup>n</sup>-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az '''R'''<sup>n</sup> két tetszőleges pontja, akkor  
 
'''R'''<sup>n</sup>-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az '''R'''<sup>n</sup> két tetszőleges pontja, akkor  
 
:<math>\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}</math>
 
:<math>\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}</math>
36. sor: 37. sor:
 
Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges ''p'' pozitív számra
 
Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges ''p'' pozitív számra
 
:<math>||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}</math>
 
:<math>||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}</math>
−
szintén norma (p=2-re az euklidészi).
+
szintén norma (p=2-re az euklidészi). Hasznos sokszor a szuprémum vagy maximumnorma is:
−
===Folytonosság===
+
:<math>||a||_\infty=\max\limits_{i=1}^{n}\{|a_i|\}</math>
 +
===Nyílt, zárt és kompakt halmazok===
 +
Az u &isin; '''R'''<sup>n</sup> pont &epsilon; sugarú gömbi környezetén értjük a
 +
:<math>B_\varepsilon(u)=B_{||.||_2}(u,\varepsilon):=\{x\in u\mid ||x-u||<\varepsilon\}</math>
 +
halmazt ||.||<sub>2</sub> az euklideszi normát jelenti, ekkor egy gömb '''R'''<sup>3</sup>-ban tényleg gömb lesz.
 +
==Folytonosság==
 
Azt mondjuk, hogy az '''R'''<sup>n</sup> egy ''A'' részhalmazán értelezett és '''R'''<sup>m</sup>-be ható ''f'' leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy ''a'' &isin; ''A'' pontjában
 
Azt mondjuk, hogy az '''R'''<sup>n</sup> egy ''A'' részhalmazán értelezett és '''R'''<sup>m</sup>-be ható ''f'' leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy ''a'' &isin; ''A'' pontjában
 
:<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)</math>  
 
:<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)</math>  

A lap 2008. február 2., 21:30-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre. A meghatározottság kedvéért Rn-en a

\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}:x_1,x_2,...,x_n\in \mathbf{R}\right\}

halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy R saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineéris algebra szempontjából nem kerülendő.)

Tartalomjegyzék

Vektorfüggvények ábrázolása

Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.

Rn \to Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az

  • R2 \to R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
  • R \to R3 típusú tér- vagy R \to R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).

Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).

1) Példa R2 \to R ábrázolására az

z=F(x,y)=x^3-xy^2\,

egyenletű majomnyereg felület:

[1]

Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).

2) Szintvonalak. Az R2 \to R ill. R3 \to R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:

  • Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 \to R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
[2]
  • Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.

3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a

[3]

ábra mutat és amely a

f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}

függvény által van meghatározva.

Topologikus alapfogalmak

Metrika és norma

Rn-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az Rn két tetszőleges pontja, akkor

\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}

Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:

||a||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}

majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:

\mathrm{d}_2(a,b)=||b-a||_2\,

Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges p pozitív számra

||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}

szintén norma (p=2-re az euklidészi). Hasznos sokszor a szuprémum vagy maximumnorma is:

||a||_\infty=\max\limits_{i=1}^{n}\{|a_i|\}

Nyílt, zárt és kompakt halmazok

Az u ∈ Rn pont ε sugarú gömbi környezetén értjük a

B_\varepsilon(u)=B_{||.||_2}(u,\varepsilon):=\{x\in u\mid ||x-u||<\varepsilon\}

halmazt ||.||2 az euklideszi normát jelenti, ekkor egy gömb R3-ban tényleg gömb lesz.

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában

(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)

Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.

1. feladat: Igazoljuk, hogy az
f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2;\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\2xy\end{pmatrix}

leképezés folytonos a 0 pontban.

megoldás
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/1._gyakorlat&oldid=3095”
Személyes eszközök