Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Nyílt, zárt és kompakt halmazok)
42. sor: 42. sor:
 
Az u &isin; '''R'''<sup>n</sup> pont &epsilon; sugarú gömbi környezetén értjük a  
 
Az u &isin; '''R'''<sup>n</sup> pont &epsilon; sugarú gömbi környezetén értjük a  
 
:<math>B_\varepsilon(u)=B_{||.||_2}(u,\varepsilon):=\{x\in u\mid ||x-u||<\varepsilon\}</math>
 
:<math>B_\varepsilon(u)=B_{||.||_2}(u,\varepsilon):=\{x\in u\mid ||x-u||<\varepsilon\}</math>
halmazt ||.||<sub>2</sub> az euklideszi normát jelenti, ekkor egy gömb '''R'''<sup>3</sup>-ban tényleg gömb lesz.  
+
halmazt ||.||<sub>2</sub> az euklideszi normát jelenti, ekkor egy gömb '''R'''<sup>3</sup>-ban tényleg gömb lesz.
 +
 
 +
''u'' '''belső pont'''ja ''H''-nak, ha van olyan (gömbi) környezete u-nak, mely teljes egészében ''H''-beli.  ''H'' '''nyílt''' halmaz, ha minden pontja belső pont. ''H'' '''zárt''', ha komplementere, azaz az
 +
:<math>\mathbf{R}^n\setminus H</math>
 +
halmaz nyílt.
 +
 
 +
Világos, hogy '''R'''<sup>n</sup> nyílt halmaz, így ennek komplementere, az üres halmaz zárt. Ám, az üres halmaz nyílt is, hiszen minden pontja belső pont. Ha ugyanis lenne olyan pontja, ami nem belső pontja, akkor lenne egyáltalán pontja, ami lehetetlen, lévén az üres halmaz üres. Így komplementere, azaz '''R'''<sup>n</sup> zárt halmaz is. Tanulság: vannak '''nyílt-zárt''' halmazok (clopen in English) és vannak '''se nem nyílt, se nem zárt''' halmazok, például a [0,1) intervallum. Vagyis "a halmaz '''nem''' ajtó, ami vagy nyílt, vagy zárt"!
 +
 
 
==Folytonosság==
 
==Folytonosság==
 
Azt mondjuk, hogy az '''R'''<sup>n</sup> egy ''A'' részhalmazán értelezett és '''R'''<sup>m</sup>-be ható ''f'' leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy ''a'' &isin; ''A'' pontjában
 
Azt mondjuk, hogy az '''R'''<sup>n</sup> egy ''A'' részhalmazán értelezett és '''R'''<sup>m</sup>-be ható ''f'' leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy ''a'' &isin; ''A'' pontjában

A lap 2008. február 2., 20:51-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre. A meghatározottság kedvéért Rn-en a

\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}:x_1,x_2,...,x_n\in \mathbf{R}\right\}

halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy R saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineéris algebra szempontjából nem kerülendő.)

Tartalomjegyzék

Vektorfüggvények ábrázolása

Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.

Rn \to Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az

  • R2 \to R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
  • R \to R3 típusú tér- vagy R \to R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).

Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).

1) Példa R2 \to R ábrázolására az

z=F(x,y)=x^3-xy^2\,

egyenletű majomnyereg felület:

[1]

Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).

2) Szintvonalak. Az R2 \to R ill. R3 \to R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:

  • Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 \to R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
[2]
  • Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.

3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a

[3]

ábra mutat és amely a

f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}

függvény által van meghatározva.

Topologikus alapfogalmak

Metrika és norma

Rn-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az Rn két tetszőleges pontja, akkor

\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}

Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:

||a||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}

majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:

\mathrm{d}_2(a,b)=||b-a||_2\,

Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges p pozitív számra

||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}

szintén norma (p=2-re az euklidészi). Hasznos sokszor a szuprémum vagy maximumnorma is:

||a||_\infty=\max\limits_{i=1}^{n}\{|a_i|\}

Nyílt, zárt és kompakt halmazok

Az u ∈ Rn pont ε sugarú gömbi környezetén értjük a

B_\varepsilon(u)=B_{||.||_2}(u,\varepsilon):=\{x\in u\mid ||x-u||<\varepsilon\}

halmazt ||.||2 az euklideszi normát jelenti, ekkor egy gömb R3-ban tényleg gömb lesz.

u belső pontja H-nak, ha van olyan (gömbi) környezete u-nak, mely teljes egészében H-beli. H nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. H zárt, ha komplementere, azaz az

\mathbf{R}^n\setminus H

halmaz nyílt.

Világos, hogy Rn nyílt halmaz, így ennek komplementere, az üres halmaz zárt. Ám, az üres halmaz nyílt is, hiszen minden pontja belső pont. Ha ugyanis lenne olyan pontja, ami nem belső pontja, akkor lenne egyáltalán pontja, ami lehetetlen, lévén az üres halmaz üres. Így komplementere, azaz Rn zárt halmaz is. Tanulság: vannak nyílt-zárt halmazok (clopen in English) és vannak se nem nyílt, se nem zárt halmazok, például a [0,1) intervallum. Vagyis "a halmaz nem ajtó, ami vagy nyílt, vagy zárt"!

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy aA pontjában

(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)

Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.

1. feladat: Igazoljuk, hogy az
f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2;\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\2xy\end{pmatrix}

leképezés folytonos a 0 pontban.

megoldás
Személyes eszközök