Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Az első gyakorlaton a Rⁿ topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rⁿ egy részhalmazából R^m-be ható folytonos leképezésekre.

Előzetes

Vektorfüggvények ábrázolása

Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.

Rⁿ $\to$ R^m függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az

• R² $\to$ R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
• R $\to$ R³ típusú tér- vagy R $\to$ R² típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).

Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).

Felületre példa a kétváltozós

$z=F(x,y)=x^3-xy^2\,$

egyenletű majomnyereg felület:

[1]

Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).

Az R² $\to$ R ill. R³ $\to$ R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:

• Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R² $\to$ R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:

[2]

• Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.

Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a

[3]

ábra mutat és amely a

$f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}$

függvény által van meghatározva.