Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Az első gyakorlaton a Rⁿ topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rⁿ egy részhalmazából R^m-be ható folytonos leképezésekre. A meghatározottság kedvéért Rⁿ-en a

$\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}:x_1,x_2,...,x_n\in \mathbf{R}\right\}$

halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy R saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineéris algebra szempontjából nem kerülendő.)

Előzetes

Vektorfüggvények ábrázolása

Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.

Rⁿ $\to$ R^m függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az

• R² $\to$ R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
• R $\to$ R³ típusú tér- vagy R $\to$ R² típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).

Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).

1) Példa R² $\to$ R ábrázolására az

$z=F(x,y)=x^3-xy^2\,$

egyenletű majomnyereg felület:

[1]

Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).

2) Szintvonalak. Az R² $\to$ R ill. R³ $\to$ R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:

• Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R² $\to$ R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:

[2]

• Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.

3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a

[3]

ábra mutat és amely a

$f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}$

függvény által van meghatározva.

Topologikus alapfogalmak

Rⁿ-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az Rⁿ két tetszőleges pontja, akkor

$\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}$

Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:

$||a||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}$

majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:

$\mathrm{d}_2(a,b)=||b-a||_2\,$

Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges p pozitív számra

$||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}$

szintén norma (p=2-re az euklidészi).

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az Rⁿ egy A részhalmazán értelezett és R^m-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában

$(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)$

Itt ||x-a|| az x-a Rⁿ-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) R^m-beli euklideszi normája.

1. feladat: Igazoljuk, hogy az

$f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2;\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\2xy\end{pmatrix}$

leképezés folytonos a 0 pontban.

megoldás