Matematika A2a 2008/1. gyakorlat
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre. A meghatározottság kedvéért Rn-en a
halmazt, azaz az n emeletes valós értékű oszlopvektorkat értjük. (Mások azt mondanák, hogy R saját magával vett n-szeres Descartes-szorzata, ami azonban később elfedné a "sorvektor" és az "oszlopvektor" különbséget, ami a lineéris algebra szempontjából nem kerülendő.)
Tartalomjegyzék |
Vektorfüggvények ábrázolása
- Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.
Rn Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az
- R2 R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
- R R3 típusú tér- vagy R R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).
Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).
1) Példa R2 R ábrázolására az
egyenletű majomnyereg felület:
Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).
2) Szintvonalak. Az R2 R ill. R3 R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:
- Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
- Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.
3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a
ábra mutat és amely a
függvény által van meghatározva.
Topologikus alapfogalmak
Metrika és norma
Rn-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az Rn két tetszőleges pontja, akkor
Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:
majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:
Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges p pozitív számra
szintén norma (p=2-re az euklidészi). Hasznos sokszor a szuprémum vagy maximumnorma is:
Nyílt, zárt és kompakt halmazok
Az u ∈ Rn pont ε sugarú gömbi környezetén értjük a
halmazt ||.||2 az euklideszi normát jelenti, ekkor egy gömb R3-ban tényleg gömb lesz.
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában
Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.
- 1. feladat: Igazoljuk, hogy az
leképezés folytonos a 0 pontban.