Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Függvénytér

A félév során gyakran fogunk találkozni olyan lineáris terekkel (a lineáris tér fogalmát az előadáson tanuljuk meg), melyek elemi függvények. Ezeknek alaptípusa a következő. Legyen H tetszőleges halmaz. Ekkor a

$\{f:H\to \mathbf{R}\}=_\mathrm{def}H^\mathbf{R}\,$

halmazt, azaz a H-n értelmezett R-be képező függvények halmazát függvénytérnek nevezzük. A függvénytér lineáris tér a pontonként műveletekkel, azaz a következőkkel:

$f+g:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto f(x)+g(x)\,$

ha λ valós szám, akkor

$\lambda.f:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto \lambda.f(x)\,$

Függvénytér lineáris alterét is függvénytérnek nevezzük. Lineáris altér egy lineáris tér részhalmaza, ha a fenti műveletekre zárt.

Az F függvénytér B részhalmaza bázis, ha B-beli elemek lineáris kombinációjával a tér összes eleme egyértelműen előáll, azaz ha minden f ∈ F-re léteznek egyértelműen olyan λ₁, ..., λ_n számok, hogy

f = λ₁f₁ + λ₂f₂ + ...+ λ_nf_n,

ahol f₁, ..., f_n ∈ B. B elemszáma a dimenzió. A lineáris tér egy részhalmaza altér, ha zárt az összeadásra és a számmal való szorzásra.

Példák

1.

$\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$,

melynek elemeit koordinátarendszerben is tudjuk ábrázolni. Természetesen ez végtelen dimenziós.

2. Az intervallumon korlátos függvények B(I) halmaza altere az előzőnek.

3. A zárt intervallumon folytonos függvények C[a,b] tere része az a B[a,b]-nek. Ugyanígy a Riemann integrálható függvények is R[a,b]

4.

2. gyakorlat