Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Függvénytér

A félév során gyakran fogunk találkozni olyan lineáris terekkel (a lineáris tér fogalmát az előadáson tanuljuk meg), melyek elemi függvények. Ezeknek alaptípusa a következő. Legyen H tetszőleges halmaz. Ekkor a

$\{f:H\to \mathbf{R}\}=_\mathrm{def}H^\mathbf{R}\,$

halmazt, azaz a H-n értelmezett R-be képező függvények halmazát függvénytérnek nevezzük. A függvénytér lineáris tér a pontonként műveletekkel, azaz a következőkkel:

$f+g:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto f(x)+g(x)\,$

ha λ valós szám, akkor

$\lambda.f:H\to \mathbf{R},\quad x\mapsto \lambda.f(x)\,$

Függvénytér lineáris alterét is függvénytérnek nevezzük. Lineáris altér egy lineáris tér részhalmaza, ha a fenti műveletekre zárt.

Az F függvénytér B részhalmaza bázis, ha B-beli elemek lineáris kombinációjával a tér összes eleme egyértelműen előáll, azaz ha minden f ∈ F-re léteznek egyértelműen olyan λ₁, ..., λ_n számok, hogy

f = λ₁f₁ + λ₂f₂ + ...+ λ_nf_n,

ahol f₁, ..., f_n ∈ B. B elemszáma a dimenzió. A lineáris tér egy részhalmaza altér, ha zárt az összeadásra és a számmal való szorzásra.

Példák

1.

$\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$,

melynek elemeit koordinátarendszerben is tudjuk ábrázolni. Természetesen ez végtelen dimenziós.

2. Az intervallumon korlátos függvények B(I) halmaza altere az előzőnek.

3. A zárt intervallumon folytonos függvények C[a,b] tere része az a B[a,b]-nek. Ugyanígy a Riemann integrálható függvények is R[a,b]

4. Legyen H = {1,2,3}. Ekkor az {f:H $\to$ R} halmazt még úgy is meg lehet adni, hogy az elemeit egy rendezett hármasba foglaljuk:

$\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_1,x_2,x_3\in\mathbf{R}\}$

Ezt jelöljük R³-nak. R³ minden elemét meg lehet adni 3 előre megadott elem lineráis kombinációjaként: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Ezek alkotják R³ sztenderd bázisát (rendes bázis). Általában Rⁿ. Ebbeli függvények analíziséve fogunk foglalkozni.

5. Legyen R^2×3 a 2-szer 3-as mátrixok tere. Ez szintén lineáris tér az elemenkénti összeadással és a skalárral szorzással. A bázisa 6 elemű.

6. {s:Z $\to$ R} a sorozatok (vagy a polinomok tere). Ez végtelen dimenziós és a báziselemek a hatványfüggvények.

Normált tér

Ha a N vektortéren értelmezünk egy

||.||: N $\to$ R

úgy, hogy

1. ||v||$\geq$ 0 minden v ∈ N-re és v=0, ha ||v|| = 0.
2. minden λ számra és v ∈ N-re |λ|$\cdot$||v||=||λ.v||
3. ||u + v|| $\leq$ ||u|| + ||v||

Hossz azért kell, mert fontos az analítis számára a gömbi környzet, mely, azaz az ε > 0 sugarú a ∈ N középpontú nyílt gömb:

$\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)=\{x\in N\mid ||x-a||< \varepsilon\}$

Példa. A főpéldán, az R³-en, ez az euklideszi vektorhossz, azaz a Pithagorasz-tételből kiszámítható

$||v||=|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$

Példa. Két lényeges Rⁿ-beli norma.

1. p>0, akkor $||v||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^n |v_i|^p\right)^{1/p}$
2. $||v||_{\mathrm{max}}=\max\limits_{i=1}^n\{|v_i|\}$

Érdemes megnézni, hogy a gömbök R²-ben hogy néznek ki. ||.||₁ esetén a gömb egy csúcsára állított négyzet 2 ε átlóval. ||.||_max egy oldalára állított négyzet. ||.||₂pedig egy körlap.

Példa. Függvénytéren a leggyakoribb norma a szuprémumnorma. Ha B(H,R) a H $\to$ R korlátos függvények tere, akkor ennek akármilyen alterén norma az

$||f||_{\mathrm{sup}}=\sup\limits{x\in H}\{|f(x)|\}$

Fontos példák: B[a,b] valóban vektortér, C[a,b] ⊆ B[a,b] altér a Weierstrass-tétel szerint, R[a,b] ⊆ B[a,b] szintén altér amiatt, hogy integrálható függvény korlátos.

2. gyakorlat