Matematika A2a 2008/10. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon) |
||
34. sor: | 34. sor: | ||
:<math>0\leq f(x,y)\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\,</math> | :<math>0\leq f(x,y)\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\,</math> | ||
ami utóbbi impróprius integrálható. | ami utóbbi impróprius integrálható. | ||
− | :<math>\int\limits_{x=\delta}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*</math> | + | :<math>\lim\limits_{\delta\to 0}\int\limits_{x=\delta}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*</math> |
− | ::<math>F( | + | ::<math>F(y)=\int\limits_{x=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x=[2\sqrt{x+y^2}]_{x=0}^1=2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})</math> |
− | :<math>*=\int\limits_{y=0}^{1}\,\mathrm{d}y= | + | :<math>*=\int\limits_{y=0}^{1}2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})\,\mathrm{d}y=2\left[-\frac{y^2}{2}\right]</math> |
+ | Ugyanis, | ||
+ | :<math>\int\limits\sqrt{y^2+1}\,\mathrm{d}y=\left.\int\limits\sqrt{\mathrm{sh}^2(t)+1}\cdot\mathrm{ch}(t)\,\mathrm{d}t\right|_{\mathrm{sh(t)=y}}=\left.\int\limits\mathrm{ch}^2(t)\,\mathrm{d}t\right|_{\mathrm{sh(t)=y}}=</math> | ||
+ | :<math>=\left.\int\limits \frac{1+\mathrm{ch}(2t)}{2}\,\mathrm{d}t|_{\mathrm{sh(t)=y}}=t+</math> | ||
==Integrálás normáltartományon== | ==Integrálás normáltartományon== |
A lap 2009. május 1., 15:49-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon
1.
A függvény csak egy pontban szakad és korlátos, így integrálható.
F a [0,1]-en nincs értelmezve, mert 0-ban szakadása van, de
ami imprópriusan integrálható:
Hiszen tudjuk:
2.
Az
pontokban a függvénynek szakadása, ahol x nulla vagy negatív, ráadásul nem is korlátos, így nem inregrálható. Ellenben a [δ,1]×[0,1] téglalapon létezik integrája minden δ > 0 esetben és az egységkockán improprius integrálható, mert
ami utóbbi impróprius integrálható.
Ugyanis,
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): =\left.\int\limits \frac{1+\mathrm{ch}(2t)}{2}\,\mathrm{d}t|_{\mathrm{sh(t)=y}}=t+
Integrálás normáltartományon
1.
9. gyakorlat | 11. gyakorlat |