Matematika A2a 2008/10. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon)
(Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon)
34. sor: 34. sor:
 
:<math>0\leq f(x,y)\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\,</math>
 
:<math>0\leq f(x,y)\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\,</math>
 
ami utóbbi impróprius integrálható.
 
ami utóbbi impróprius integrálható.
:<math>\int\limits_{x=\delta}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*</math>
+
:<math>\lim\limits_{\delta\to 0}\int\limits_{x=\delta}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*</math>
::<math>F(x)=\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}y=[2\sqrt{x+y^2}]_{x=0}^1=2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})</math>
+
::<math>F(y)=\int\limits_{x=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x=[2\sqrt{x+y^2}]_{x=0}^1=2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})</math>
:<math>*=\int\limits_{y=0}^{1}\,\mathrm{d}y=
+
:<math>*=\int\limits_{y=0}^{1}2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})\,\mathrm{d}y=2\left[-\frac{y^2}{2}\right]</math>
 +
Ugyanis,
 +
:<math>\int\limits\sqrt{y^2+1}\,\mathrm{d}y=\left.\int\limits\sqrt{\mathrm{sh}^2(t)+1}\cdot\mathrm{ch}(t)\,\mathrm{d}t\right|_{\mathrm{sh(t)=y}}=\left.\int\limits\mathrm{ch}^2(t)\,\mathrm{d}t\right|_{\mathrm{sh(t)=y}}=</math>
 +
:<math>=\left.\int\limits \frac{1+\mathrm{ch}(2t)}{2}\,\mathrm{d}t|_{\mathrm{sh(t)=y}}=t+</math>
  
 
==Integrálás normáltartományon==
 
==Integrálás normáltartományon==

A lap 2009. május 1., 15:49-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon

1.

 T=[0,1]\times[0,1]
f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{2xy}{x^2+y^2}, & \mathrm{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\
0, & \mathrm{ha}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.
\int\limits_T f=?

A függvény csak egy pontban szakad és korlátos, így integrálható.

\int\limits_{x=0}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*
F(x)=\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y=\left[x\mathrm{ln}(x^2+y^2)\right]_{y=0}^1=x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)

F a [0,1]-en nincs értelmezve, mert 0-ban szakadása van, de

F(x)\sim_0 x\mathrm{ln}\,(x^2)=2x\mathrm{ln}\,x>2\mathrm{ln}\,x\,

ami imprópriusan integrálható:

\int x\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x^2+1)(\mathrm{ln}\,(x^2+1)-1)\,
\int x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2(\mathrm{ln}\,(x^2)-1)\,
*=\int\limits_{x=0}^{1}x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,(2)-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-0=\mathrm{ln}\,(2)-1

Hiszen tudjuk:

\int \mathrm{ln}\,x\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{ln}\,(x)-x=x(\mathrm{ln}\,(x)-1)
\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}x\mathrm{ln}(x^2)=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{\frac{-1}{x^2}}=0

2.

f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}, & \mathrm{ha} & x+y^2 > 0\\
0, & \mathrm{ha}& x+y^2\leq 0\end{matrix}\right.
 T=[0,1]\times [0,1]
\int\limits_T f=?

Az

y=\pm\sqrt{-x}

pontokban a függvénynek szakadása, ahol x nulla vagy negatív, ráadásul nem is korlátos, így nem inregrálható. Ellenben a [δ,1]×[0,1] téglalapon létezik integrája minden δ > 0 esetben és az egységkockán improprius integrálható, mert

0\leq f(x,y)\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\,

ami utóbbi impróprius integrálható.

\lim\limits_{\delta\to 0}\int\limits_{x=\delta}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*
F(y)=\int\limits_{x=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x=[2\sqrt{x+y^2}]_{x=0}^1=2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})
*=\int\limits_{y=0}^{1}2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})\,\mathrm{d}y=2\left[-\frac{y^2}{2}\right]

Ugyanis,

\int\limits\sqrt{y^2+1}\,\mathrm{d}y=\left.\int\limits\sqrt{\mathrm{sh}^2(t)+1}\cdot\mathrm{ch}(t)\,\mathrm{d}t\right|_{\mathrm{sh(t)=y}}=\left.\int\limits\mathrm{ch}^2(t)\,\mathrm{d}t\right|_{\mathrm{sh(t)=y}}=
Értelmezés sikertelen (formai hiba): =\left.\int\limits \frac{1+\mathrm{ch}(2t)}{2}\,\mathrm{d}t|_{\mathrm{sh(t)=y}}=t+


Integrálás normáltartományon

1.

 T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\quad\wedge\quad0\leq  y\leq\sqrt{x}\}
f(x,y)=y\sqrt{1+x^2}
\int\limits_T f=?
9. gyakorlat 11. gyakorlat
Személyes eszközök