Matematika A2a 2008/10. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon) |
||
(egy szerkesztő 7 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
:<math>\int\limits_T f=?</math> | :<math>\int\limits_T f=?</math> | ||
− | + | A függvény csak egy pontban szakad és korlátos, így integrálható. | |
− | :<math>\int\limits_{x=0}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=</math> | + | :<math>\int\limits_{x=0}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*</math> |
− | + | ::<math>F(x)=\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y=\left[x\mathrm{ln}(x^2+y^2)\right]_{y=0}^1=x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)</math> | |
+ | ''F'' a [0,1]-en nincs értelmezve, mert 0-ban szakadása van, de | ||
+ | ::<math>F(x)\sim_0 x\mathrm{ln}\,(x^2)=2x\mathrm{ln}\,x>2\mathrm{ln}\,x\,</math> | ||
+ | ami imprópriusan integrálható: | ||
+ | ::<math>\int x\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x^2+1)(\mathrm{ln}\,(x^2+1)-1)\,</math> | ||
+ | ::<math>\int x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2(\mathrm{ln}\,(x^2)-1)\,</math> | ||
+ | :<math>*=\int\limits_{x=0}^{1}x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,(2)-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-0=\mathrm{ln}\,(2)-1</math> | ||
+ | Hiszen tudjuk: | ||
+ | :<math>\int \mathrm{ln}\,x\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{ln}\,(x)-x=x(\mathrm{ln}\,(x)-1)</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}x\mathrm{ln}(x^2)=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{\frac{-1}{x^2}}=0</math> | ||
==Integrálás normáltartományon== | ==Integrálás normáltartományon== |
A lap jelenlegi, 2009. május 8., 06:21-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon
1.
A függvény csak egy pontban szakad és korlátos, így integrálható.
F a [0,1]-en nincs értelmezve, mert 0-ban szakadása van, de
ami imprópriusan integrálható:
Hiszen tudjuk:
Integrálás normáltartományon
1.
9. gyakorlat | 11. gyakorlat |