Matematika A2a 2008/10. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon

1.

$T=[0,1]\times[0,1]$

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{2xy}{x^2+y^2}, & \mathrm{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\ 0, & \mathrm{ha}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$

$\int\limits_T f=?$

A függvény csak egy pontban szakad és korlátos, így integrálható.

$\int\limits_{x=0}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*$

$F(x)=\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y=\left[x\mathrm{ln}(x^2+y^2)\right]_{y=0}^1=x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)$

F a [0,1]-en nincs értelmezve, mert 0-ban szakadása van, de

$F(x)\sim_0 x\mathrm{ln}\,(x^2)=2x\mathrm{ln}\,x>2\mathrm{ln}\,x\,$

ami imprópriusan integrálható:

$\int x\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x^2+1)(\mathrm{ln}\,(x^2+1)-1)\,$

$\int x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2(\mathrm{ln}\,(x^2)-1)\,$

$*=\int\limits_{x=0}^{1}x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,(2)-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-0=\mathrm{ln}\,(2)-1$

Hiszen tudjuk:

$\int \mathrm{ln}\,x\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{ln}\,(x)-x=x(\mathrm{ln}\,(x)-1)$

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}x\mathrm{ln}(x^2)=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{\frac{-1}{x^2}}=0$

Integrálás normáltartományon

1.

$T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\quad\wedge\quad0\leq y\leq\sqrt{x}\}$

$f(x,y)=y\sqrt{1+x^2}$

$\int\limits_T f=?$

9. gyakorlat

11. gyakorlat